Спектральный анализ и его приложения Том 1 - Дженкинс Г.
Скачать (прямая ссылка):
Чтобы показать, что выборочный спектр не сходится в каком-либо статистическом смысле и для процессов, отличных от белого
3,0-
2,0
1,0
x----x N=IOO
—Теоретический спектр
Рис. 6.1. Выборочные спектры для'первой половины (N = 50) и для всей реализации (/V=IOO) дискретного нормального белого шума.
шума, рассмотрим процесс авторегрессии, построенный по формуле (5.3.36). Теоретическая корреляционная функция и соответствую^ щая выборочная функция, сосчитанные по реализации из 400 членов, показаны на рис. 5.13. Теоретический спектр и выборочный спектр, сосчитанные по той же самой реализации, приведены на
9*
260
Гл. 6. Спектр
рис. 6.2. Как и в примере с белым шумом, выборочный спектр очень сильно колеблется и мало похож на теоретический.
N=W
Теоретический спектр
0,2 0,3
Рис. 6.2. Выборочный спектр для реализации процесса авторегрессии второго
порядка.
Резюме. Для детерминированных сигналов, спектр является пределом (в обычном математическом смысле) выборочного спектра Cxx(f) при безграничном увеличении длины записи. Однако, как показывает пример с белым шумом, поведение функции
6.1. Выборочный спектр
261
Cxx(f) для временного ряда является настолько неустойчивым, что она становится бесполезной для оценивания. Основная причина, по которой анализ Фурье неприменим к временным рядам, заключается в том, что он основан на предположении, что амплитуды, частоты и фазы фиксированы. Для временных же рядов характерны случайные изменения амплитуд, частот и фаз. Поэтому тот вывод, что анализ Фурье для временных рядов следует видоизменить, учитывая их случайную природу, не является неожиданным.
6.1.3. Соотношение между выборочной спектральной плотностью и выборочной ковариационной функцией
Прежде чем дать более точное определение спектра стационарного случайного процесса, мы выведем фундаментальное соотношение, связывающее выборочный спектр и выборочную ковариационную функцию.
Из определения выборочного спектра (6.1.6) мы имеем
Т/2 Т/2
С„ (/) = 4- j X We-™'dt j x(t')e+iiK"' dt'. (6.1.8)
-T/2 -T/2
При замене переменных
и = t — f, v = f
в двойном интеграле (6.1.8) область интегрирования преобразуется так, как показано на рис. 6.3. При этом (6.1.8) переходит в
cxx(J)=l
(Т/2)-и
I
-Т/2
j X (v) X (V + и) dv
e~J2*fudu-
О г г/2
+ j 4~ 1 X (v) X (V-\-и) dv
¦ (Т/2)-и
du.
Вводя функцию схх(и), определенную равенством (5.3.5), мы получаем
Схх(/)= \cxx(u)e-™adu, -оо</<с«.
—г
(6.1.9)
Следовательно, выборочный спектр, или выборочная спектральная плотность, является преобразованием Фурье от выборочной ковариационной функции. Обратное по отношению к (6.1.9) преобрази вание Фурье можно записать в виде
OO
схх(и)= J Cxx(f)e**udf, -Г<«<Г, (6.1.10)
262
Гл. 6. Спектр
откуда при и = 0 получаем
OO
CxAO) = O= j CxAf) df.
(6.1.11)
Таким образом, выборочная спектральная плотность показывает, как дисперсия, или средняя мощность, сигнала x(t) распределена по частотам.
і t'
Z
Рис. 6.3. Преобразование координат для выборочного спектра.
Для дискретного времени выборочный спектр равен
JV-I
С„(/) = Д 2 CxAQe-™", -^_</<^-, (6.1.12)
/г= - (N-X)
что соответствует формуле (6.1.9). Обратное преобразование (6.1.12) дает
1/24
CxAu)= } Cxx(f)ej2rfu df, -WA<w</VA, (6.1.13)
—1/2 і
что соответствует формуле (6.1.10).
Пары преобразований Фурье (6.1.9), (6.1.10) и (6.1.12), (6.1.13) являются математическими тождествами, которые верны независимо от того, является ли x(t) детерминированным сигналом или реализацией случайного процесса. В следующем разделе дается интерпретация предельного значения Cxx(f) для случая, когда x(i)—реализация стационарного случайного процесса.
6.2. Спектр
263
6.2. СПЕКТР
6.2.1. Определение спектра случайного процесса
Для описания изменчивости функции Cxx{f), продемонстрированной в разд. 6.1.2, необходимо рассмотреть запись x(t), —Т/2 t Т/2, как один из многих возможных временных рядов, которые могли бы быть наблюдены, т. е. как реализацию случайного процесса. Таким образом, изменчивость записи будет охарактеризована случайными величинами X(t), —Т/2 ^ t Т/2, как указывалось в гл. 5. При этом выборочная спектральная плотность Cxx(f) в некоторой точке f рассматривается как реализация случайной величины Cxx(f), точно так же, как схх(и) считается реализацией случайной величины сХх(и) *>. Получив распределение Схх (/) или ее моменты, можно объяснить неустойчивое поведение Сxx(,f), показанное на рис. 6.1 и 6.2.
Используя (6.1.9), получаем первый момент оценки, соответствующей выборочному спектру Cxx(f):
т
E [Схх (Л) = j E [схх (и)} ё~™а du, —т
что можно с помощью (5.3.13) записать в виде
т
E [Схх(/)] = j 1хх(и)(\- e-J2*fu du. (6.2.1)
Таким образом, (6.2.1) дает среднее распределение (по всем возможным временным рядам длины 7") мощности по частотам. При увеличении длины записи T первый момент E[Cxx(f)] стремится к
OO
Гхх (/) = lim E [Схх (/)] = J Ьх (и) e~i2*fudu. (6.2.2)
Математические вопросы, связанные с этим предельным переходом, более полно обсуждаются в [1].
