Аналитические и численные методы небесной механики - Чеботарев Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
d^X __ /9 X ¦ о f X - xr
m-dW+m = -k~mom ^3- - kmm -^3" .
m -+- m = -k2m0m - k2mm!y , (II. 65)
= -k2rnom -js ~ k*mm> •
" d40 dK о
Но для производных , -jp-, можем на-
писать уравнения, аналогичные уравнениям (II. 63),
/710 rf-^o _ dfi : -к2тат So-? А* - к2т0т' Со- А? 1
/710 II ¦¦ -к2тйт Чо- Ч Д? - к2тйт! гю- Д3 2 i, (п.66)
т0 о | л. II ¦¦ -к2т0т Со-С А? - к2тйт! Со- д(r) С'
- 55 -
или, подставляя (11.64) и сокращая на т0, получим
4^=**m.4+*W-4, (11.67)
1 2
= Pm -+- Pm' 4г-.
дз дз
Обозначим Д1 = г1, Д2 = г' и Д3 = Д и подставим выражения (11.67) в
уравнения (11.65). Мы получим после сокращения на m гелиоцентрические
уравнения движения планеты Р в виде
= -к2(tm) ~з к2т' рз - Pm0 н- к2т' ,
L2"/ ____t2", J . 7.2"/ У'~ У
dt2
Pm -Pm' ^3 - Pm0 -+- Pm' ^, (11.68)
^ 2 - Pm -4- -Pm' -4 - P/nft 4-I- Pm' ---
dt2 гЗ r'3 0 r9 ДЗ
ИЛИ
d*X
dt*
d*y
-P (m0 + m)i + Pm'
-P (m0 H- m) -j -H Pm1
дз 'у' - у Г'3
ДЗ г'3
f г' - z zr
ДЗ /3 г
г')2,
(11.69)
Jti ~ ~ r3
причем
r2 = P-*-i/2H-z2, (11.70)
r'2 = x'2H-i/2H-z'2.
Уравнения (II. 69) можно записать теперь в следующей форме:
d*x ... . х dR
пертурбационная функция.
Взаимное расстояние планет А выражается формулой
Д2 = Г2Ч-/2 - 2rr'costf, (11.72)
где через Н обозначен угол между радиусами-векторами г и г'. При
разложении пертурбационной функции в бесконечный ряд наибольшие трудности
представляет разложение первого члена
-1=(г2 ч- г'2 - 2 rr' cos Н)-\ (II. 73)
который называется главной частью пертурбационной функции.
2. Коэффициенты Лапласа. Рассмотрим прежде всего наиболее простой
случай движения планет, когда плоскости орбит совпадают, а
эксцентриситеты равны нулю, т. е. движение происходит по круговым
орбитам. В этом случае главная часть пертурбационной функции принимает
вид
=(а2 ч- а'2 - 2аа' cos НУ'\ (II. 74)
а0
где
H0 = L - L.
Через L и JJ обозначим средние долготы планет, отсчитанные от оси х,
лежащей в плоскости движения планет и имеющей произвольное направление.
Пусть а<^а'
и <* = -?-<1, тогда
=(1 - 2а cos Н0 + а2)-1/". (II. 75)
Рассмотрим более общее выражение
- ?. 2L
F 2=(1 -2аСозЯ0ч-а2) 2. (Ц.76)
Из теории рядов Фурье известно, что функция
П
вида F 2 может быть разложена в бесконечный ряд по
косинусам углов, кратных Н0, который сходится для всех значений //0, т.
е.
ft +00
й=^1=т2^со8''я"- (IL 77) -00
Коэффиеценты в этом разложении носят название коэффициентов Лапласа.
Выражения для вычисления коэффициентов Лапласа даются интегралом Фурье
2* ft
610 = JL J (1 _ 2и COS H0 -+- <x2f 2 cos iH0dH0. (II. 78)
о
Этот интеграл неудобен для практических вычислений, однако на практике
обычно не приходится встречаться с вычислением коэффициентов Лапласа, так
как существуют специальные таблицы: Е. W. Brown and D. Brouwer "Tables
for the development of the disturbing function with schedules for
harmonic analysis". Cambridge, 1932, которые содержат эти коэффициенты.
Таблицы Брауна и Брауэра дают численные значения величины
1" "5"
2
где g^n определяются условием
Т
я
g(?= (I-;2)2 ь{? (11.79)
т а
для п = 1, 3, 5, 7 и / = О, 1, 2, ...11, по аргументу
Р 1 - а2 '
3. Разложение по степенны взаимного наклона.
Рассмотрим теперь случай двух круговых орбит, наклоненных друг к другу
под углом /. Пусть Z, и 11 - средние долготы планет, отсчитываемые от оси
х, которую направим в точку N-пересечение орбит на небесной сфере. Тогда
из рис. 9 находим
cos //=cos L cos L' -ь sin L sin LI cos I (II. 80)
- 58 -
или
cos Н= cos (L! - L) - 2 sin L sin L' sin2 -=-. (II. 81)
Угол I определяется из треугольника QNQ по формуле
cos 1= cos / cos i' -+- sin / sin /' cos (2 - S'). (II. 82)
Рис. 9. Проекция орбит двух планет иа небесную сферу.
Подставляя (11.81) в (11.73) и учитывая, что эксцентриситеты орбит равны
нулю, напишем выражение для -д* следующим образом:
-I-=(а2 -"- а'2 - 2аа' cos H0)~'h X
X I
4аа' sin L sin U sin2 -g- \ o2 -+- o'8 - 2aa' cos Hq )
I \~'U
(11.83)
Рассмотрим в этом выражении член 4оа' sin L sin L' sin2 ~7Г
a2 + q' -2aa' cos Hq
- 59 -
(11.84)
Очевидно, что он по абсолютной величине меньше, чем
4аа' sin2 -5-
¦ <"-85)
Нетрудно проверить, что для всех больших планет выражение (11.85) меньше
единицы. Наибольшего значения величина (11.85) достигает для случая
Плутона и Урана (0.124). Мы оставляем при этом в стороне случай Плутона и
Нептуна, когда аналитические разложения вообще становятся непригодными.
Теперь можно разложить по формуле бинома выражение
(4аа' sin L sin L' sin2 -jj- \ о2 -t- a'* - 2aa' cos Hq J
в абсолютно сходящийся ряд по степеням sin2 -j-. Используя выражение (II.
74), получим следующий бесконечный ряд (написанные члены достаточны для
всех больших планет):
1 Л_1 г .
-j- = А"1 - 2aa'Ajp5 sin L sin LI sin2 2
-+- 6a2a'2A~5 sin2 L sin2 L sin4 -------
- 20а3а/3Дз_7 sin3 L sin3 L' sin8 -y -+-
(11.86)
где
Д"" = (а2-на/2 - 2aa' cos //u) 2 =
П
= (a')-" (1 - 2a cos H0 -+- a2)" 7 или, пользуясь разложением (II. 77),
Таким образом, в разложении (11.86) имеем
