Аналитические и численные методы небесной механики - Чеботарев Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
-42-
dt2 PW/J Г'
?{t!Й=рП (п.б)
d4_7 dt2~ L'
В том случае, когда действующие силы обладают силовой функцией, т. е.
когда существует такая функция U, частные производные которой по
координатам планеты равны компонентам силы, действующей на эту планету,
уравнения движения можно написать так:
d2 р / dw \2 dU
dfi~V\~dt) 1f '
т('5г)=?- С1-7*
d2z dU_
dt2 dz
Как известно, силы взаимного притяжения по закону Ньютона обладают
силовой функцией
и=к2( 1-ьж) _^R' (И. 8)
где первый член соответствует задаче двух тел, а второй представляет так
называемую пертурбационную функцию. Постоянная к2 носит название
постоянной Гаусса. Поэтому окончательно дифференциальные уравнения
движения планеты могут быть записаны так:
§-р(?)Ч*.(1-нЯ)?=?,
<"-9>
/ 2/1 . \ 2 dR
It2 (1 -Н /п)-рз ~z-
3. Постоянная Гаусса. Постоянная Гаусса к? =/,
где / так называемая постоянная тяготения. Если при-
нять наиболее удобные в теории движения планет астро-
номические единицы: единица длины - полуось земной
орбиты, называемая обычно астрономической единицей
длины (а. е.), единица времени - средние солнечные
-43-
сутки, единица массы - масса Солнца, то постоянная Гаусса будет иметь
следующее численное значение:
к - 0.01720209895,
= 3548^18761. (ПЛ0*
Эта величина была получена Гауссом по формуле k=.2*?i=, (ii.li)
где а - большая полуось земной орбиты в а. е., т - масса Земли и Луны, а
Т-продолжительность сидерического года в средних солнечных сутках. Гаусс
принял следующие, наилучшие в его время, числовые значения
астрономических постоянных:
- = 354710,
m 7
Г= 365.2563835, (11Л2>
а = 1.
Так как масса Земли и продолжительность сидерического года определяются
из наблюдений и потому их численные значения постепенно улучшаются, то и
численное значение к, полученное Гауссом, должно постоянно изменяться.
Однако более удобно рассматривать величину к, определяемую равенством
(II. 10), как абсолютную постоянную, но при этом большую полуось земной
орбиты считать отличной от астрономической единицы длины. Так, например,
Ньюком, принимая
к = 0.01720209895,
-1-=329390, (11.13)
Т= 365.25636042, нашел по формуле (II. 11), что
а = 1.000000030 а. е., (11.14)
т. е. большая полуось орбиты Земли отличается от единицы только в восьмом
десятичном знаке. Заметим, что постоянную Гаусса можно положить равной к
= 1, если
- 44 -
принять за единицу времени 1/^ = 58.13244087 средних солнечных суток.
4. Уравнения движения в полярных координатах.
При построении теории движения больших планет удобно за основную
координатную плоскость принять не неподвижную плоскость эклиптики для
нормальной эпохи а подвижную плоскость, в которой расположена в каждый
данный момент орбита планеты Р. Мы определим эту плоскость как плоскость,
проходящую через Солнце (т. е. через начало принятой нами системы
координат) и касательную к оскулирующей орбите планеты Р. Приняв эту
плоскость оскулирующей орбиты за плоскость ху, получим
и уравнения движения принимают следующий вид:
где w отсчитывается от оси х, лежащей в плоскости орбиты и имеющей
произвольное направление. Угол w носит название долготы планеты Р в
орбите.
Уравнения (II. 16) лежат в основе метода Лапласа, изложенного им в первом
томе "Трактата по небесной механике" (1799 г.). Отметим, что это был
первый метод, разработанный для аналитического определения возмущений
больших планет.
В 80-х годах прошлого столетия Ньюком (1835-1909) применил метод Лапласа
для построения теории движения больших планет. Он остановился на методе
Лапласа как на наиболее выгодном с практической точки зрения, но внес в
него некоторые изменения, которые имели целью облегчить вычисление
возмущений высших порядков относительно планетных масс. Все
фундаментальные таблицы внутренних планет были вычислены Ньюкомом по
методу Лапласа. Этот же метод использовала Ш. Г. Шараф для построения
аналитической теории движения Плутона (1955 г.). Таким образом, метод
Лап-
(II. 16)
- 45 -
ласа полностью оправдал себя при решении основной задачи небесной
механики.
В настоящей главе метод Лапласа будет изложен со всеми необходимыми
подробностями, в той форме, которую ему придал Ньюком. В качестве
числового примера, иллюстрирующего практическое применение метода
Лапласа-Ньюкома, будет изложена теория движения Плутона, разработанная в
Институте теоретической астрономии (Ленинград) Ш. Г. Шараф.
5. Возмущения логарифма радиуса-вектора планеты. Перейдем, следуя
Ньюкому, от радиуса-вектора планеты г к величине р по формуле
r = E\ (11.17)
где Е - основание натуральных логарифмов, или
Р = 1 gr, (II.18)
отсюда
? = 1 Щ. (11.19)
Уравнения (II. 16) можно теперь записать в следующей форме:
ii ^2г 2 (\2 ^2 (1 "*¦ m) &R
г * г Ы- г -йр.
d ( a dm \ 2 о dr dm dR \ • f
~dt\ 'dt)== ~dfi ~^ dT~dt=dm'
Умножая первое уравнение (11.20) на о dm
второе - на 2-^-, суммируя произведения и интегрируя, получим
(?)* 2к'(1*т)- = 2Jd'R-иС0, (11.21)
где для краткости положено
Величина С0 - произвольная постоянная интегрирования. Сложим теперь
