Аналитические и численные методы небесной механики - Чеботарев Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
астрономии.
В настоящее время хорошо известно, что центр инерции солнечной системы
(Солнце) описывает приблизк-
- 39 -
тельно круговую орбиту вокруг центра Галактики и, таким образом, его
движение не может рассматриваться как прямолинейное и равномерное. Однако
период обращения центра инерции солнечной системы вокруг галактического
центра равен
Р= 185.9-10° лет, откуда среднее угловое перемещение за год составляет
п = (К'006972.
Поэтому ускорение по радиусу-вектору, вызываемое вращением Галактики,
равно
W= Rni2 = 2.8 • Ю-10 м/сек.2,
где R = 16.5 • 10(r) а. е. - радиус галактической орбиты Солнца. Таким
образом, дополнительное ускорение, вызываемое вращением Галактики,
настолько ничтожно, что может не приниматься во внимание при решении
основной задачи небесной механики.
Итак, система координат, помещенная в центр инерции солнечной системы, с
осями, фиксированными для принятой эпохи, может с полным правом
рассматриваться как инерциальная система координат.
В этой системе координат действующими силами являются только силы
взаимного тяготения. При переходе к любой другой системе координат (см.
главу I) в дифференциальных уравнениях движения появляются дополнительные
члены, связанные с неинерциальным характером этих систем.
Так как точка весеннего равноденствия определяется пересечением на
небесной сфере плоскости земного экватора и плоскости земной орбиты и так
как за единицу времени мы принимаем период вращения Земли вокруг своей
оси, то для перехода от одних систем координат к другим и от одной эпохи
к другой требуется знать со всей возможной точностью поступательное и
вращательное движение Земли в пространстве относительно инерциальной
системы координат.
Окончательная фиксация координатной системы в пространстве возможна
только по отношению к звездам или
- 40 -
удаленным звездным системам (внегалактическим туманностям), поэтому
полное решение задачи о пространственно-временной системе отсчета,
которая лежит в основе изучения всех вообще физических процессов, выходит
за пределы небесной механики и является, как уже было сказано выше,
комплексной задачей небесной механики, звездной астрономии и астрометрии.
2. Уравнения движения в цилиндрических координатах. При изучении
движения больших планет удобно в качестве основной системы координат
принять гелиоцентрическую систему координат. В гелиоцентрической системе
координат основная задача небесной механики несколько упрощается, так как
задача о движении десяти тел приводится к задаче о движении девяти тел.
Итак, поместим начало координат О в центр Солнца, за основную плоскость
ху примем мгновенную плоскость орбиты Земли для нормальной эпохи 1950.0,
ось х направим в точку весеннего равноденствия для той же эпохи, ось z
направим в северный полюс эклиптики, ось у составляет правую систему с
осями х и z. Введем в рассмотрение цилиндрическую систему координат.
Через г и р обозначим соответственно радиус-вектор планеты Р и его
проекцию на плоскость ху, через w обозначим долготу планет Р,
отсчитываемую в плоскости ху от оси х. Можем теперь написать
Чтобы составить дифференциальные уравнения движения планеты в
цилиндрических координатах, воспользуемся хорошо известными уравнениями
Лагранжа второго рода (см., например, книгу Г. Н. Дубошина "Небесная
механика*', 1963), которые запишем в следующей форме:
Положение планеты Р однозначно определяется тремя величинами д*, которые
называются обобщенными коор-
JC = pCOSO>, У = Р sin w,
(II. 1)
(II. 2)
- 41 -
динатами системы, или переменными Лагранжа. В основной задаче небесной
механики при изучении гелиоцентрического движения девяти больших планет к
принимает значения от к - 1 до к = 3x9 = 27. Т-живая сила системы,
является функцией обобщенных скоростей q. Величины Qt в правых частях
дифференциальных уравнений (II. 2) определяются действующими в системе
силами и предполагаются выраженными через t, <7* и Величины Qk называются
обобщенными силами, хотя размерность зтих величин, вообще говоря, отлична
от размерности силы.
Уравнения Лагранжа (II. 2) позволяют очень просто переходить от
обобщенных координат к каким угодно переменным, необходимо только
выразить через зти переменные живую силу системы Т и составить выражения
для обобщенных сил Q*. Чтобы перейти от обобщенных координат к
цилиндрическим, положим для планеты, имеющей координаты qlf q2, q3,
<7i = P>
qz = о", (II. 3)
q3 = z.
Живая сила планеты выражается в цилиндрических координатах следующим
образом:
Т=\т (р2 -н р2ш2 -н i2), (II. 4)
где через т обозначена масса планеты (за единицу массы принята масса
Солнца).
Обозначим теперь через Р, Т и Z - компоненты ускорения планеты
соответственно по направлению проекции радиуса-вектора на плоскость ху,
по направлению перпендикуляра к этой проекции в плоскости ху и по
направлению оси г.
Тогда
Qi = mP,
Q3 = mpT, (И. 5)
Q3 - mZ.
Теперь можем легко написать дифференциальные уравнения движения планеты
