Аналитические и численные методы небесной механики - Чеботарев Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
уравнение (11.21) с первым уравнением (11.20). После небольших
преобразований получим
| d^_kHl±.n,)_ = 2 J rffl ^ С,. (II. 22)
-46-
В случае невозмущенного движения радиус-вектор планеты г0 удовлетворяет
уравнению
1 dHr%) кН1ч-т)= кЦ1 + т) (П 23)
2 Л2 Го а V • /
Вычитая почленно (11.23) из (11.22), получим
+ti(l + m> +С0. (11.24)
Положим
r0 = E\ (11.25)
Пусть
р = р0-|-8р. (11.26)
Тогда
г2 = ?2р = ?2<м-81" = г2?28р = г2 (l -+- 28р -+- ?2 8р2 -+- . ..),
у (i* - Я = Г$Рго8Рг• • •> (И. 27)
1____L = _iLH_(r)?i4_
г г0 г0 2г"
Подставляя эти выражения в уравнение (II. 24), ограничиваясь в разложении
членами второго порядка малости и перенося эти члены второго порядка в
правую часть, получим
+ iiilifO {ф) = 0+20" (II. 28)
1 г О
где для краткости обозначили
0=2[,мгч" ,
в ПН- , (II. 29)
Уравнение (11.28) дает возмущения радиуса-вектора планеты Р. Ограничимся
в дальнейшем вычислением возмущений первого порядка относительно
планетных масс. Тогда в первом выражении (11.29) можем отбро-
-47 -
сить два последние члена в правой части, содержащие 8р2, и получим
Q = 2\d'R-t-d^. (И.ЗО)
Выражения d'R и ^ , входящие в (И. 30), мы должны
вычислить с невозмущенными значениями координат планет.
Таким образом, вычисление возмущений логарифма радиуса-вектора приведено
к интегрированию дифференциального уравнения вида
d2x *2(l-t-m) 7 /ц oi\
dfi -3 -(11.31)
Jfc2 (1 -m) 7 и
где з и Z - известные функции времени. Если
го
известны два частных линейно-независимых решения р и q однородного
дифференциального уравнения, соответствующего уравнению (II. 31), т. е.,
иными словами, если известны две переменные р и q, удовлетворяющие
уравнениям
ЛЪ к*П+т) - О1-32*
dfi г3 4 -
го
то общее решение уравнения (II. 31) может быть записано следующим
образом:
ZTjf (я J pZdt-р[ qZdt -t- KlP (И. 33)
где Кх и Кг - постоянные интегрирования.
Нетрудно видеть, что уравнениям (II. 32) удовлетворяют координаты
невозмущенного эллиптического движения
*=а(со.Е-4, (1134)
у = а\/1 -e2sin Е,
где Е-эксцентрическая аномалия планеты. Поэтому мы можем принять за
частные решения уравнения (II. 31) переменные
-48-
р = cos Е - е, q = sin Е.
Тогда из уравнения Кеплера
Е-е sin Е = п (t -10)
(И. 35)
(И. 36)
следует, что
pq - qp - (l - ecos E)^t = n, и уравнение (II. 33) принимает вид
(11.37)
z = -jj- (q JpZdt - р J qZdt -4- Кхр -4- K2q^j , (II. 38)
Мы получили окончательное выражение для вычисления возмущений логарифма
радиуса-вектора планеты Р. Если ограничиваемся возмущениями первого
порядка, то Q вычисляется по формуле (II. 30), а при вычислении
возмущений второго порядка для Q необходимо взять первое выражение
(11.29). При этом в разложение пертурбационной функции входят возмущенные
координаты планет.
6. Возмущения долготы планеты. Для определения возмущений долготы
планеты воспользуемся вторым уравнением (II. 20). Интегрирование этого
уравнения дает
где С-произвольная постоянная интегрирования. Аналогичное уравнение для
случая невоэмущенного движения имеет вид
откуда, полагая
z = r\ 8р,
Z= Q -+- 2Cj,
(11.39)
получим
8? = Л (я JР (Q -+- 2СХ) dt - р f q (Q -+- 2Cj) dt -+-nr0 ' J j
(II. 40)
(11.41)
dwn a2 l/l - e2 -ГГ -----------5-------П
(К-42)
4 Г. А. Чеботарев
-49-
где через о"0 обозначена долгота планеты в орбите, соответствующая
эллиптическому движению. Положим
w = о"0 -+- 8о>. (11.43)
Вычитая теперь уравнение (И. 42) из уравнения (И. 41), получим _____
flL44)
Воспользуемся разложением в ряд
-4=^(1 - 28р-+-28р2 - ...). (П.45)
г0
Подставляя (11.45) в (11.44), находим, ограничиваясь членами первого
порядка,
dbtu 1 С ji . С /1 оял °2 - е'2 - /11 ас\
-5Г=7-|^л_,"Т(1_28р) л~ (П,46)
г0 "/ го о
или
^ = J^-(Jgi//H-C-2C8p-a2Vr^72ii). (11.47)
Разность С-a2v^l-е2 п имеет порядок возмущающей массы. Поэтому можем
положить
т'Сг=С- a2 VI - е2п, (11.48)
где т' - масса возмущающей планеты Р'. Тогда
С= т'Сг + aVl- е2 п. (И. 49)
Отбрасывая в (11.47) член второго порядка относительно возмущающей массы
2/п'С28р, получим окончательно
^ = -т(ШЛ-,-да'С"-2а2^Г=72п8р). (11.50)
го
Таким образом, зная возмущения радиуса-вектора планеты, находим
возмущения долготы при помощи квадратуры
-50-
bw = -L J dt -+- т'Сг - 2a2 \/l - e2 л8р) <ft -+¦ C3, (II. 51)
где C3 - постоянная интегрирования.
7. Возмущения узла и наклона орбиты планеты.
Нам остается определить положение в пространстве плоскости оскулирующей
орбиты. Относительно основной неподвижной плоскости, за которую приняли
мгновенную плоскость орбиты Земли для нормальной эпохи Т0 = 1950.0,
положение оскулирующей орбиты планеты Р можно определить двумя углами / и
2. Угол i определяет наклон орбиты к плоскости эклиптики, а угол 2
определяет долготу восходящего узла орбиты относительно точки весеннего
равноденствия нормальной эпохи Т0 = 1950.0. Возмущения элементов i и 2
определяются известными уравнениями Лагранжа (см. приложение 1)
где а, е, /, 2, ш, п - элементы орбиты планеты Р, R - пертурбационная
