Аналитические и численные методы небесной механики - Чеботарев Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
Подставляя разложение (II. 116) и (II. 117) в (II. 113) и собирая
коэффициенты при одинаковых степенях эксцентриситета, получим выражения
для kv к2, ...
Обозначим полиномы по D и а в квадратных скобках в формулах (II. 118)
символами П", где верхний значок указывает на степень е, а нижний - на
степень [а, к которым относится данный полином. Тогда формулы (II. 118)
запишутся так:
где к - четное число. Полиномы П" носят название операторов Ньюкома.
Нетрудно видеть, что
Теперь можем записать разложение (II. 114) следующим образом:
&1 = [- у D -+-а] (а -+- [- у D - а] рг1,
-g- [D2 -+- (-4s - 3) D -+- 5s -+- 4s2] [a2 -+--+- - j- [Z72 -i-D - 4s2]
-+--+- -g- [D2 -+- (4s - 3 )D - 5s -+- 4s2] [a-2,
(II. 118)
(II. 119)
П--(*)=№.(-*)•
(II. 120)
-66-
?Pa+"W-i =1+е(Д| [Х-4-П-! ^)^-
-+¦ e2 (IJ* Iх2 -+- По П-2 P-2) -!-••• =
00 2" ____
=i4-2e"2n"-^n_t=
я=1 jt=0 00 2" _
= 2"в2Ш-"г'. (и. i2i)
n=0 *=0
Подставляя (И. 121) в (II. 109), получим
?^+*2), . //(s, s') ).*)/ =
СО 2я !
= 2 е" 2 П"-*Я(5, s')X*X'* fit"-*. (II. 122)
"=o *=0
или, переходя к тригонометрическим функциям,
?рС+А2>, .tf(s, S')X*X'*' =
= 2е"2Ш-*Я(5, s')cos[sZ,4-s'Z/4-(/i-fc)M]> (11.123)
"=0 к=О
где к принимает четные значения: 0, 2, 4, ... 2л. Введем обозначение
Р"п-к (s, s') = • H(s, s'). (II. 124)
Тогда
EfD+kD,. H(s, s') Х'Х'*' =
оо 2я
= 2 е" 2 Рп-к (s, s') cos [sL -t- s'L' + {n - k) M]. (II. 125)
"=u k=0
На этом разложение главной части пертурбационной функции по степеням
эксцентриситета возмущаемой планеты заканчивается. Нам необходимо теперь
показать, как в это разложение можно ввести эксцентриситет возмущающей
планеты.
Мы получили, что общий член разложения (II. 125), содержащий множитель
е", имеет вид
2"
е" 2 Рп-к (s, s1) cos [sL -+- s'L' + (п - к) М]. (11.126)
к=о
Умножая теперь это выражение на Ef 0 +к
- 67 - 5*
и вводя новый полином П"'" получим общий член окончательного разложения
по эксцентриситетам в виде
evB'2m;,2P:(S, s')х X cos (sL -+¦ s'L' ¦+¦ mM ¦+¦ m'M1).
(И. 127)
Очевидно, что операторы П"', образуются из D и s так же, как операторы П"
из и и s. Действие операторов П?, на произведение Р"п можно представить
как действие сложных операторов зависящих от двух пла-
нет, на исходные коэффициенты H(s, s'). Таким образом,
п r:^(s,s')=m',p"(s,s')=
*')=p^'(s, s').
(II. 128)
Операторы П^', = П", • П"', образуются путем почленного перемножения
операторов П* и П*',.
Итак, задача разложения главной части пертурбационной функции полностью
разрешена. Мы получили это разложение в виде
1 = 2 Р%>пе'Н' cos [sZ. -н s'L' -h/tiM-h m'M'}. (II. 129)
Коэффициенты P"', зависят от больших полуосей а, а' и от взаимного
наклона орбит I.
5. Вычисление операторов Ньюкома. Сравнивая формулы (11.118) и
(11.119), можем сразу написать выражения для операторов Ньюкома
По=>2-Д-45'-], Uli30)
П2 = \ [D9- -+- (-4s - 3) D -н 5s 4s2],
II-2 = i [D1 -h(4s-3)D-5s-h 4s2],
Кроме того, T1|J=1. Индексы s и s' не являются независимыми, как это
видно из формулы (11.90). Действи-
- 68 -
тельно, в первой строчке s' = /, s = -i; во второй строчке s'= i-"-l, s =
¦-i-i-l; в третьей строчке s' = i -+- 2, s = = -1-"-2; в четвертой
строчке s' = / -+- 3, s =-/-"-3. Назовем операторы, соответствующие
первой строчке, операторами нулевого класса; операторы, соответствующие
второй строчке, операторами первого класса и т. д.
Мы можем теперь легко получить численные коэффициенты для операторов
Ньюкома (11.130). Так, например, рассмотрим оператор
IIo=tID2h-d-4s2]-
При вычислении оператора П* нулевого класса мы полагаем s =-/. Придавая г
последовательные значения -7, -6 ... -+-7, получим
i По
-7 -49-н| D +
-6 -36-н| D-HjD2
н-7 -49-"--^- D-h-j-Z)2
Подробные таблицы численных коэффициентов операторов Ньюкома вычислены Ш.
Г. Шараф и приведены в ее работе.
б. Второй член пертурбационной функции. Обратимся теперь к разложению
второго члена пертурбационной функции. Опуская постоянный коэффициент
&2/п', можем написать
/?,=-**'-• y3'w. (п.131)
Так как
costf=i?^M^?l'( (И.132)
то
= (Ц.133)
- 69-
или, пользуясь формулой (11.81), получим для случая круговых орбит
/?j =-?cos (Lf - L) - 2sin L sin L' sin2 -jJ. (II. 134) Преобразуем это
выражение следующим образом:
Я1 = -4;Гcos(L' - L) - cos(L' - L) sin2{-+-
a' L. *
¦+¦ COS (L'-L) sin2-j] (H.135)
или
a'Rx = -a cos (L' - L) (l - sin2 -jj -
- a cos (L' -+- L) sin3 -j. (11.136)
Сравнивая это выражение с разложением (II. 90), видим, что для учета
второго члена пертурбационной функции необходимо в (II. 90) заменить
а'А^ на а'А1 - <*(l-sin2-j), а'Л_г на a'A_x - <*(l-sin2^-), (11.137)
a'B0 на a'B0 - a.
§ 3. Теория движения Плутояа
1. Введение. Разработка теории движения Плутона была начата в 1946 г.
в Институте теоретической астрономии в Ленинграде Ш. Г. Шараф. Мы
приведем основные результаты первой части этой работы, в которой Ш. Г.
Шараф вычисляет возмущения первого порядка от Юпитера, Сатурна, Урана и
Нептуна, причем возмущения Плутона от Нептуна получены при помощи
