Аналитические и численные методы небесной механики - Чеботарев Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
<о перейти к эклиптическим элементам 2, /, а) и обратно. Остальные
элементы, определяющие орбиту планеты или спутника (а и е), а также
положение светила на орбите относительно линии апсид, очевидно, не
зависят от выбора системы координат.
Построим сферический треугольник, образованный экватором Земли,
эклиптикой и орбитой светила. Углы этого треугольника равны /, 180° - Г и
е, а стороны, противоположные углам, равны соответственно 2, 2 и (о - а)
(рис. 5).
Применяя основные формулы сферической тригонометрии, получим
sin / sin 2 = sin Тsin 2,
sin i cos 2 = -cos i sin e -ь sin i cos e cos 2, cos / = cos Tcos e -+-
sin i sin e cos 2, sin i sin (aS - u>) = sin e sin 2, sin i cos (б> - <o)
= sin i cos e - cos Tsin e cos 2.
(1.39)
Эти формулы дают возможность определить /, 2 и о. Для обратного перехода
от эклиптических элементов орбиты к экваториальным имеем следующие
формулы, к'оторые получаются из того же треугольника:
- 28 -
sin [sin 2 = sin i sin 2, sin i cos 2 = cos i sin e -t- sin i cos e cos
2, cos / = cos i cos e - sin / sin e cos 2, sin i sin (u> - o>) = sin e
sin 2, sin i cos (<•> - **>) = sin i cos e -i- cos i sin s cos 2.
(1.40)
По этим формулам находим f, 2 и w.
б. Переход от эклиптической гелиоцентрической системы координат к
эклиптической геоцентрической системе. Если вычисления ведутся в
эклиптической системе координат, то для сравнения теории с наблюдениями
нам необходимо вычислить геоцентрические эклиптические сферические
координаты планеты р, р, X.
Для перехода от эклиптической гелиоцентрической системы координат к
эклиптической геоцентрической системе служат формулы переноса начала
координат, аналогичные формулы (I. 34)
-зкяип'1'
Рис. 5. Экваториальные и эклиптические элементы орбиты небесного тела
(проекция на небесную сферу).
X-
У
(1.41)
• R cos В cos L = р cos Р cos X,
- R cos В sin L = p cos P sin X, z R sin В = p sin j3,
где X и p - долгота и широта планеты, a R, L и В -
радиус-вектор, долгота и широта Солнца. Учитывая фор-
мулы (1.20), можно переписать формулы (1.41) в более простой форме
: р cos Р cos X.
COS i
У
- /? sin Z. = p cos P sin X, z = p sin p.
(1.42)
Так как из наблюдений мы получаем всегда только экваториальные
сферические координаты а и 8, то при изучении движения планеты в
эклиптических координа*
-29-
тах необходимо все наблюденные координаты <* и 8 пере-вычислить в Р и X.
Для этого служат известные формулы сферической тригонометрии
cos 3 cos X = cos 8 cos ", j
cos 8 sin X = cos 8 sin a cos e -+- sin 8 sin e, | (1.43)
sin3 =-cos 8 sin a sinesin 8 cos s. )
Через e обозначен, как всегда, наклон экватора к эклиптике. Наблюденные
координаты планеты Р и X, полученные по формулам (1.43), сравниваются с
вычисленными координатами (на те же моменты времени), полученными по
формулам (1.42).
§ 4. Влияние прецессии на координаты и элементы орбиты
1. Преобразование прямоугольных координат от одной впохи к другой. До
сих пор мы предполагали, что плоскости экватора и эклиптики отнесены к
определенной начальной эпохе Та = 1950.0 и потому не меняются с течением
времени. Однако в практической работе небесного механика очень часто
возникает необходимость перехода от одной эпохи к другой. Мы рассмотрим
этот вопрос для случая экваториальной системы координат.
Пусть х0, у0, z0 - прямоугольные координаты планеты, отнесенные к эпохе
Т0, а х, у, z- те же координаты, отнесенные к эпохе t. Для перехода от
эпохи Т0 к эпохе t употребляются следующие формулы:
х - XqXx I Уф К, I
У = *0ХУ -*-9ъУ9-*- (!•44)
Z XqXz ¦+" Yg ¦+" ZqZzi
где Хх, Yx, ... - косинусы углов, образованные осями X, у, Z с осями х0,
yQ, z0.
Уравнения (1.44) пригодны как для гелиоцентрических, так и для
геоцентрических прямоугольных координат. Они пригодны также для
проективных коэффициентов
Pxi Ру, P*i 0х> Qy> Qf
Для решения обратной задачи служат формулы
x0 = xXx - yYx - zZx,
У0 = -хХу ¦+¦ у Yy-tr- zZy, (1.45)
z0 - -xX, -+- у Y, -+- zZ,.
- 30 -
Переводные коэффициенты Хх, ... могут быть вычислены по формулам
Хх = 1.00000000 - 0.0002 9696 Р -
- 0.0000 0014 Р,
Yx = -Ху = -0.0223 4941 Т- 0.0000 0676 Р -
ч-0.0000 0221 Р,
Zx = -Х2 = -0.0097 1691 Т-+- 0.0000 0206 Р •
ч-0.0000 0098 Р, (1.46)
Yy = 1.0000 0000 - 0.0002 4975 Р -
- 0.00000015 Р,
Yt = Zy = -0.0001 0858 Р,
Z, = 1.0000 0000 - 0.0000 4721 Р -ч-0.0000 0002 Р,
где Т - время в тропических столетиях, считаемое от 1950.0.
2. Преобразование элементов от одной эпохи к другой. Преобразование
элементов 20, ш0 для эпохи 7*0 = 1950.0 к произвольной эпохе t
выполняется по формулам
2 = 20 ч- а - Ь sin (20 ч- с') ctg /0, i = i*o ч- Ь cos (20 ч- с'), со =
о)0 ч- b sin (2Ц ч- с') cosec /0
(1.47)
и для обратного перехода по формулам
20 = 2 - а ч- Ь sin (2 ч- с) ctg /, /0 = i - Ь cos (2 ч- с),
<в0 = со - b sin (2 ч- с) cosec /.
(1.48)
Величины а, Ь, с, с' = сч-а для различных эпох можно найти в
Астрономическом Ежегоднике. Если, например, 7*0 = 1950.0 и / = 1964.0, то
