Солитоны - Буллафа Р.
Скачать (прямая ссылка):
можно найти, что г'-й солитон приобретает сдвиг аргумента
^=Убг/, 6f/ = sgn[t - ¦ (1.20)
!Ф1 У 1
Таким образом, сдвиг 6, есть сумма сдвигов при парных столк-
N
новениях, тогда как ? = 0, и полный фазовый сдвиг сохра-
i = 1
няется. Отсутствие многочастичных эффектов связано [1.34] с наличием
высших интегралов движения у уравнения КдФ. Эти интегралы описаны в разд.
1.4. Асимптотическое поведение решений КдФ рассматривалось Гарднером и
др. [1.1], а также Гиббоном и Эйлбеком [1.35]. Использованное здесь
рассуждение заимствовано нами в основном из работы Уизема [1.36].
Итак, три весьма различных на вид уравнения - КдФ (1.3), НУШ (1.9) и СГ
(1.10) или (1.11) - имеют М-солитонные решения, в то время как уравнение
<р4 таковых не имеет. Уравнение простых волн (1.12) их также не имеет,
поскольку оно вообще не имеет решений типа уединенной волны; это
уравнение, однако, имеет бесконечный набор интегралов движения в
инволюции [1.37]. Значение последних для солитонных решений будет
рассмотрено в разд. 1.4.
Прежде чем идти дальше, сделаем замечание о методе обратной задачи
рассеяния для решения нелинейных эволюционных уравнений щ = К[и\,
поскольку мы думаем, что это будет полезно читателю. Указанный метод и
его история описаны в разд. 1.4-1.6. Для тех, кто не слыхал об этом
методе раньше, скажем, что его основная идея состоит в следующем:
поскольку никакого прямого способа построения u(x,t) по начальным данным
обычно нет, можно попытаться связать с данным уравнением некоторую задачу
рассеяния с рассеивающим потенциалом u(x,t). Например, для уравнения КдФ
задачей рассеяния является задача на собственные значения для оператора
Шрёдингера [-д2/дх2 + ц(хД)]ф = ±?2ф. Начальное условие и(х, 0)
отображается с помощью задачи рассеяния на так называемые "данные
рассеяния". Далее оказывается, что эволюция этих данных может быть
найдена из нелинейного эволюционного уравнения. Последним шагом является
вычис-
20
/. Солитон и его история
ление потенциала u(x,t) по данным рассеяния в момент времени t = 0. Это
может быть сделано с помощью линейных методов так называемой "обратной"
задачи. Итак, u(x,t) найдено! Уравнения КдФ, НУШ, СГ - все они могут быть
решены этим методом. Однако простейшая задача рассеяния для СГ-уравнения
и НУШ - это не задача на собственные значения для оператора Шрёдингера.
Симметрия задачи рассеяния оказывает влияние на форму солитонного
решения. Например, односолитонное решение НУШ (1.9), найденное Захаровым
и Шабатом с помощью задачи рассеяния 2X2 [1.35], имеет вид
у 2т1 ехр 41 (^2 ~ т12) ^ - 2f'S* + *'а1 П 9П
ch [2n (t - to) + 8T)if] '
где 1, г], б и *о - свободные параметры. Это решение представляет собой
"солитон огибающей", в котором огибающая, имеющая форму гиперболического
секанса, модулирует монохроматическую "несущую волну" числителя. В этом
солитоне связь между скоростью и амплитудой, характерная для солитонов
КдФ, полностью отсутствует. Метод обратной задачи дает тому ясное
объяснение [1.38]. Солитоны описываются связанными состояниями задачи
рассеяния; в случае НУШ задача рассеяния допускает комплексные
собственные значения ?, ? = ! + + й] (,п>0), причем | и г] оказываются
параметрами в (1.21). В противоположность этому собственные значения
уравнения Шрёдингера лежат исключительно на мнимой оси ? = itj (л > >0).
Итак, параметр г] определяет амплитуду, а | - скорость солитона НУШ
(1.21); параметр т] определяет как скорость, так и амплитуду солитонного
решения (1.2) уравнения КдФ.
В случае СГ-уравнения появляются некоторые новые особенности.
ДГсолитонное решение этого уравнения имеет вид [1.39]
cos и (х, t) = 1 - 2(-jpr - -^2-) • In F,
F = detMt!,
Mij = 2{ai + dj)~1 • ch[y(9( +9/)].
9/ = Y jix-Vjt - Xj), a/ = 0 " Vl) 0 + Г/)'1. У) = 0 " W1, (1-22)
где ai и у/ имеют один и тот же знак и где а/ и х/ - свободные параметры.
Прежде всего заметим, что односолитонное решение является "кинком"
w = 4arctgexpj^± ' (L23)
1.2. Определение солитона
21
Если в (1.23) взят положительный знак, то кинк удовлетворяет граничным
условиям и-*- 0, х->-оо; и->- 2л, х->- -f-оо (2л-кинк). Имеется также
соответствующий антикинк (знак "-"), имеющий асимптотики ы->-2л, х->-оо;
ы-"-0, х-"-+оо (-2л антикинк). В противоположность кинкам и антикинкам
(1.15) уравнения ф\ кинки и антикинки СГ-уравнения сталкиваются между
собой или друг с другом как солитоны. Заметим, что в обоих случаях
величина
имеет характер уединенной волны колоколообразной формы, т. е. их является
настоящим солитоном. Граничные условия для СГ-уравнения есть поэтому u-"-
0(mod2n), их, иХх-*-0, когда |х|->-оо, как мы и предполагали для
уравнения (1.11).
Двухсолитонное решение представляет собой 4л-кинк:
Асимптотически [1.39]
и (х, /) = 4л arctg exp (0i + б*) + 4 arctg exp (б2 + )
при t - ± оо, где
Заметим далее, что выбирая в качестве свободных параметров комплексно-
сопряженные пары
и = 4 arctg
(1.25)
ai2 = (ai-a2f(al+a2) 2.
6f = - б? = jln аХ2.
