Солитоны - Буллафа Р.
Скачать (прямая ссылка):
Насколько нам известно, уравнение (1.61) пока что не исследовалось
существенно более глубоко1). В принципе другие решения вроде (1.65а)
можно найти методами, аналогичными выведенным ниже из (1.66а).
В разд. 1.3 мы отмечали связь между нелинейными эволюционными уравнениями
с солитонными решениями, бесконечными наборами сохраняющихся плотностей и
гамильтоновыми системами. Мы вернемся к этой связи в разд. 1.4, и она
довольно подробно рассматривается в последующих главах. Была также
показана связь между ПБ и бесконечными наборами сохраняющихся плотностей.
Позже тесная связь между ПБ, нелинейными эволюционными уравнениями и
солитонами была проиллюстрирована новыми примерами в работах Уолквиста и
Эстабрука по структурам продолжения [1.61], [1.75] и [1.76]. Пирани с
сотрудниками [1.77] недавно (1978) дали формулировку ПБ в терминах
расслоений джетов, которая обеспечивает разумное'истолкование этих
результатов. Для дальнейшего изучения важных математических достижений в
этой области рекомендуем читателю обратиться к соответствующей
литературе. С помощью другого подхода Калоджеро [1.78] смог прояснить
связь между ПБ и методом обратной задачи рассеяния путем расширения
приложений этого метода (объединяющая идея состоит в том, что и
эволюционные уравнения, и их ПБ могут иметь простую структуру, будучи
выраженными через данные рассеяния, несмотря на их сложность в лг-
пространстве). Эта работа описана в гл. 9. Следует упомянуть также новые
работы по ПБ [1.79], [1.80]; еще одна работа, связанная с ПБ и
структурами продолжения, отмечена в разд. 1.5. Хирота рассматривает ПБ со
своей собственной и нестандартной точки зрения в гл. 5.
¦) Маккарти [1.125] перечисляет очевидные преобразования Бэклунда:
и
между
1.3. Преобразование Бэклунда и сохранение плотности
35
Завершая разд. 1.3, сделаем несколько дополнительных исторических
замечаний относительно СГ-уравнения (1.11а) и отметим некоторые из его
недавних приложений в теории поля. Лоренцева ковариантность СГ-уравнения
(1.10) означает инвариантность СГ-уравнения (1.11а) относительно
преобразования Ли; при замене переменных более общего вида
l, - at-\-a~lx, r\ - at - a~'x оно лоренц-ковариантно. Если положить
и = 4 arctg [К (|)/G (л)].
то
(F')2 = -kF4+mF2 + n,
(ia'f = kG4 + {m - 1 )G2-n,
где k, m, п - произвольные константы, а штрих означает дифференцирование
по аргументу (для решений уравнения (1.61)
(G')2 меняет знак). Здесь содержится некоторый намек на идею прямых
методов отыскания jV-солитонных решений СГ-уравнения, разработанных
Хиротой [1.81] и Кодри с соавт. [1.82] в 1972-1973 гг. Они снова
упоминаются в разд. 1.5. Различные псевдосферические поверхности,
соответствующие решениям уравнения (1.64) (называемые поверхностями
Эннецера с постоянной кривизной), были перечислены и описаны Штойрваль-
дом [1.83] в 1936 и включают 2л-кинк, 4л-кинк и бризер. Это было отмечено
в работе Лэма [1.27], к которой мы отсылаем читателя за многими другими
полезными историческими комментариями ').
Скирме [1.84, 1.85] независимо открыл эти три решения СГ-уравнения при
построении первой интегрируемой модели теории поля в 1959-1962 гг.
Изучение фазовых сдвигов показывает, что кинки (а также антикинки)
взаимно отталкиваются, тогда как между кинком и антикинком наблюдается
взаимное притяжение. Скирме приписал "топологический заряд" +1 и -1 кинку
и антикинку соответственно. Как мы объяснили, кинк (антикинк)
интерполирует между 0 и 2л (между 2л и 0 соответственно), Заряды суть
"прыжки" u(oo,t) - и(-оо, t), нормированные на 2л; они являются
константами движения, стабилизированными граничными условиями. Эти
свойства характерны для топологических квантовых чисел [1.43].
Следовательно,
') Псевдосферические поверхности - это поверхности с постоянной
отрицательной гауссовой кривизной. Ранним примером (с кривизной - а-2)
служит поверхность вращения Бельтрали, получаемая вращением трактрисы у =
л/аг - х2 - a In [(а + ^а1 - х2)/х) вокруг оси у. Среди решений
нелинейных эволюционных уравнений не только решения СГ-уравнения дают
поверхности с постоянной отрицательной кривизной. Мы покажем в конце
разд. 1.7, что по крайней мере решения КдФ, модифицированного КдФ, НУШ и,
на самом деле, всех систем АКНС обладают этим свойством.
(1.66а)
(1.66Ь)
36
1. Солитон и его история
бризер не обладает зарядом: он сам является своей античастицей, и поэтому
ему был сопоставлен мезон. Насколько нам известно, Скирме фактически
"угадал" решения в виде 4л-кинка и бризера, подгоняя аналитические
выражения к численным результатам.
Бурная деятельность в области создания сопоставимых моделей теории поля
началась лишь в 1974 г. [1.39-1.41, 1.43, 1.86, 1.87]. Один из
замечательных ее результатов - это связь между квантованным СГ-уравнением
и массивной моделью Тирринга, обнаруженная Колменом [1.43, 1.88] в 1975
г. Она описана Лютером в гл. 12. Связи между сохраняющимися плотностями
квантованного СГ-уравнения и массивной моделью Тирринга нашли Берг с
