Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Буллафа Р. -> "Солитоны" -> 7

Солитоны - Буллафа Р.

Буллафа Р., Кодри Ф. Солитоны — М.: Мир, 1983. — 408 c.
Скачать (прямая ссылка): solitoni1983.pdf
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 6 < 7 > 8 9 10 11 12 13 .. 156 >> Следующая

v/(pgh2) >' 1/3. При у/(рgh?)^ 1/3 для предотвращения несостоятельности
теории необходимо учитывать производную более высокого порядка
Уравнение (1.6) описывает волны в достаточно широких каналах с неизменным
поперечным сечением, и именно его положительное решение Расселл наблюдал
в 1834 г. Эти факты ему не были известны, но он эмпирически нашел [1.3] с
помощью серии хорошо поставленных опытов, упомянутых в приведенной выше
цитате, важное соотношение между скоростью с решения (1.6) типа
уединенной волны и его максимальной высотой над уровнем свободной
поверхности:
c2 = g(h + k). (1.7)
Эта формула противоречит данным Эйри, который теоретически получил
совершенно другой результат [1.3, 1.8]. В самом деле, если положить у
тождественно равным нулю, то скорость с ре-
') Уравнения КдФ (1.1) и (1.3) инвариантны относительно масштабного
преобразования и (х, t) цги (т)х, т]3/). Поскольку 12 sech2 (х - 41) есть
решение уравнения (1.3), то формула (1.4) дает однопараметрическое
семейство решений этого уравнения.
1.2. Определение солитона
15
шения типа уединенной волны уравнения (1.6) определится
соотношением с = cs (1 + k/2h). Результат с - cs (1 + k/h)u2 = = *\/g{h-
\- k){'2 справедлив лишь для решений типа уединенной волны уравнений
Буссинеска [1.9]
2 д2 ( . 3 и2 . h2 \ оч
и"==с*^{и+Т1Г + -Тих*)- О-8)
Оно допускает решения типа уединенной волны вида и =
= ksech2[C&k/h.2)1/2(х ± ct)], движущиеся в положительном или в
отрицательном направлении оси х. Уравнение Буссинеска превращается в
уравнение КдФ с одним направлением распространения заменой l = x- gt и т
- ei и отбрасыванием членов порядка 0(е2).
Расселл впоследствие основал на своей формуле (1.7) некоторые
примечательные и, возможно, чрезмерно далеко идущие гипотезы.
Интересующийся читатель может прочесть о них и дальнейшей
профессиональной карьере самого Расселла
в приложении. Уединенная волна привлекла внимание Буссинеска, Рэлея и
других и активно обсуждалась, пока не появилась работа Кортевега и де
Фриза [1.7], написанная в 1895 г. По-прежнему волнующая борьба мнений и
идей, сопровождавшая уединенную волну в то время, описана в приложении
(см. также [1.10-1.20]). Здесь достаточно сказать, что рассел-лова
"уединенная волна" была весьма удачно придумана и создала фундамент, на
котором можно основать современную теорию солитонов. Само понятие
солитона вводится в разд. 1.2.
1.2. Определение солитона: Л[-солитонные
решения нелинейных эволюционных уравнений
Последующая история солитонов есть на самом деле история трех нелинейных
эволюционных уравнений, а именно уравнений КдФ (1-1), (1-3) или (1.6),
нелинейного уравнения Шрёдингера (НУШ)
Щ + ы" + 2ы|ы|2 = 0 (1.9)
и уравнения sine-Gordon (СГ-уравнения)
ихх - utt - sin и. (1.Ю)
Последнее принимает форму
ux< = sinu (1.11а)
в переменных светового конуса (х -j- t)/2-+x, (х-t)/2->t. Оно становится
эволюционным уравнением
X
ut- ^ sin [и (х', /)] dx,' (1.11b)
16
1. Солитон и его история
при наложении граничных условий и(х, t)^- u0 = 0 (mod 2я), их, "**->-0,
|jc| -оо, подразумеваемых для (1.11а); в любом случае оно является
эволюционным уравнением по отношению к их, что и принимается обычно при
решении этого уравнения. СГ-уравнение впервые появилось в физике в теории
дислокаций [1.21]. Оно описывает распространение вращений, условных или
настоящих, в различных физических системах [1.22, 1.23], например
распространение флюксонов в джозефсоновских контактах [1.23-1.25] и
распространение резонансных ультракоротких оптических импульсов [1.23,
1.24, 1.26, 1.27]. Некоторые приложения описаны Лэмом и Маклафлином в гл.
2, а также нами в гл. 3.
Нелинейное уравнение Шрёдингера выделяется среди этих трех уравнений тем,
что в нем u(x,t) является комплексной, а не вещественной величиной. Оно
управляет эволюцией любой слабо нелинейной, сильно диспергирующей
квазимонохромати-ческой волны и, в частности, описывает эволюцию волны на
глубокой воде [1.28]. КдФ описывает слабонелинейный режим со слабой
дисперсией на мелкой воде, тогда как четвертое уравнение, уравнение
простой волны
и{ -\-иих - 0, (1.12)
управляет сильно нелинейными недиспергирующими волнами. Как мы увидим,
это уравнение также сыграло роль в развитии предмета, однако в отличие от
КдФ, НУШ и СГ оно не имеет солитонных решений. Скажем вкратце, что мы
понимаем под последними, поскольку они являются предметом всей этой
книги.
Уединенная волна (1.5) уравнения КдФ (1.3) есть единственное решение вида
и(х - Vt), удовлетворяющее граничным условиям и-у 0 при |х|->-оо. Забуски
и Крускал [1.2] имели дело с периодическими граничными условиями. Тем не
менее они сделали замечательное наблюдение, установив, что произвольное
начальное возмущение и(х, 0) превращается при t-y оо в набор уединенных
волн, каждая из которых имеет форму
(1.5), асимптотически хорошо разделенных и движущихся с различными
скоростями. Такое поведение в действительности было известно Расселлу
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 6 < 7 > 8 9 10 11 12 13 .. 156 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed