Солитоны - Буллафа Р.
Скачать (прямая ссылка):
Работа Расселла послужила отправной точкой для статей Буссинеска [1.9],
Рэлея [1.16] и Кортевега и де Фриза [1.7]. Она основывалась на физических
соображениях и не привела к сколь-нибудь существенным математическим
результатам, пока не появились работы Забуски и Крускала [1.2] и Гарднера
с соавторами [1.1]. С другой стороны, СГ-уравнение впервые возникло в
математическом контексте, а именно в дифференциальной геометрии при
изучении псевдосферических поверхностей - поверхностей с постоянной
отрицательной кривизной [1.27]. В недавней статье Лунда [1.48] эти более
ранние исследования продолжены и проиллюстрированы примерами; мы вернемся
к ней в разд. 1.6. Там же будут указаны более новые исследования
геометрии солитонов.
Отметим, однако, что еще до появления (приблизительно в 1883 г.) СГ-
уравнения Лиувилль [1.49] привел в 1853 г. общее решение связанного с ним
нелинейного уравнения Клейна - Гордона
uxt - exp {mu), (1.33)
где m - параметр. Мы недавно [1.50] применили преобразование Бэклунда для
получения из общего решения и = f{x)-\- g{t) уравнения uxt = 0 найденного
Лиувиллем общего решения уравнения (1.33)
exp {mu) = exp [m {f - g)\ [б ^ exp {mf) dx' +
i 1 a.-i
+ Yk m
t -.-2
^exp(- mg)cWJ , (1.34)
где k - параметр. Здесь удобно ввести преобразование Бэклунда (ПБ). Такое
преобразование, позволяющее получить решение (1.34) уравнения
(1.33), имеет вид [1.50]
"* = их + -?ГехР [т m (" + "')] '
_ Г1 г Л (L35)
u't = -ut-~k 1 exp I у m {и - и')\.
Это преобразование, связывающее решение и одного уравнения с решением и'
второго уравнения, - типичный пример
1.3. Преобразование Вэклунда и сохранение плотности
25
ПБ. Заметим, что из условия интегрируемости u'xt - u't получить как uxt =
exp (ты), так и u'xt = 0; следовательно, это и будут те два уравнения,
которые связаны ПБ. Из (1.35) при и' = f(x) -f- g(t) легко получаем
d { exp [- у m (и - f + g)] J = k exp (mf) dx + ^-exp (- mg) dt.
(1.36)
Отсюда сразу следует (1.34).
Уравнение Луивилля (1.33) и СГ-уравнение (1.11а) в конусных переменных
суть частные случаи обобщенного уравнения Клейна - Гордона
uxt - F(u). (1.37)
Однако солитонных решений уравнения (1.33) не существует, поскольку ни и
= 0, ни и = const не являются его решениями '). Нелинейные уравнения
Клейна - Гордона вроде (1.37) могут допускать как преобразования Бэклунда
(ПБ), так и автопреобразования Бэклунда (АПБ). В первом случае
преобразование связывает решения двух различных уравнений, во втором -
решения одного и того же уравнения. Уравнение (1.37) допускает АПБ тогда
и только тогда, когда Р(и) + ol2F(u) = 0 для некоторого а (включая случай
а = 0) [1.50, 1.54], где Р обозначает вторую производную. Частный случай
этой ситуации, а именно АПБ с произвольным вещественным параметром k вида
/ I о,." + "'
Ux = Ux + Sln 2---------'
(1>38)
ut - - ut - 2k -^- >
связывающее два решения и и и' СГ-уравнения в конусных переменных
(1.11а), был известен Бэклунду еще до 1883 г.
[1.55]. В этом примере из условия интегрируемости u'xt = u'tx
одновременно следует uxt = sin и и u'xt - sin и'. То, что аналогичное АПБ
существует также для уравнения КдФ, было осознано много позднее [1.51,
1.56]. Оно имеет вид
и'х - - их - k + (и' - и)2
ц' - - ut + 4 \k2 + kux -¦ k {и' - uf+u2x+ ux {и'- и)2^- uxx ("'-")].
(1.39)
Условие интегрируемости u'xt - u'tx в этом случае есть
(ы'~ы)(ыллл + ы(-6ы2)=0. (1.40)
') Отсюда, кстати, понятно происхождение названия "sine-Gordon",
применяемого для уравнений (1.10) или (1.11). Точнее, Рубинстейн [1.52]
приписывает авторство этого наименования Круокалу; Колеман [1.43]
утверждает иное, и сам Крускал в этом "не вполне уверен" [1.53]. Как бы
то ни было, именно это название общепринято!
26
1. Солитон и его история
Тождественное преобразование и' = и тривиально. Вторая пара скобок дает
уравнение КдФ (1.1) (с коэффициентом 12, а не 6) после дифференцирования
по х и замены "*->-". Функция и' удовлетворяет уравнению
""х + <-К = °. (1-41)
так что рассматриваемое преобразование есть АПБ.
Существует тесная связь между АПБ, солитонами и методом обратной задачи
рассеяния, хотя пример уравнения Лиу-вилля (которое также допускает АПБ
[1.50, 1.54]) показывает, что из одного не следует с необходимостью
другое. В период с 1900 по 1920 г. многие авторы рассматривали
преобразования Бэклунда, умножая сведения о них [1.57]. В частности,
Кларин [1.57], по-видимому, открыл "принцип суперпозиции" для АПБ (1.34).
описываемый Лэмом и Маклафлином в гл. 2, хотя Эй-зенхарт [1.57] цитирует
Бьянки, считая последнего первооткрывателем указанного принципа. Форсайт
[1.57] предлагает нахождение АПБ (1.34) для уравнения uxt ~ sin и в
качестве нерешенной задачи (!) и ссылается на Бьянки и Дарбу как на
впервые поставивших ее. Несомненно, Уолквист и Эстабрук
[1.56] первыми обнаружили принцип суперпозиции ("теорему о
перестановочности") для уравнений (1.39). Чень [1.58] показал, как
связать существование АПБ со схемой 2X2 для обратной задачи рассеяния,
