Солитоны - Буллафа Р.
Скачать (прямая ссылка):
рассеяния было бы полезно описать открытие этого метода для уравнения
КдФ, следуя изложению Крускала [1.110] , и сейчас мы это сделаем.
В 1955-1965 гг. Крускал интересовался повторяемостью, наблюдаемой в
одномерных ангармонических решетках - задачей Ферми - Пасты - Улама (ФПУ)
[1.12]. Это привело Забуски и Крускала [1.2] к исследованию уравнения,
полученного для кубической нелинейности в континуальном пределе,
Ун==Ухх{^ &Ух)I (1-74)
где параметр е, задающий величину нелинейности, порядка 1/10. Ища
римановы инварианты линейной задачи уи = ухх, а именно
и=\{Ух + Уг) = 0{\), v = ^ (ух - yt) = О (е),
они свели (1.74) к простой волне
их-\-иих - 0 (т = 4е(/ - х)). (1-75)
Характеристики этого уравнения суть dx/dx = и - const. Их пересечение
означает наличие ударных волн у уравнения. Его можно проинтегрировать
преобразованием годографа, получив решение и - и(х - ut),
включающее ударную волну (ско-
рость и велика там, где возмущение и велико). При возврате к дискретной
решеточной модели была введена дисперсия. В результате получилось
Л у*2
Уи^Ухх^+еУх) + ~12~ Ухххх> (1.76)
1.4. Другие физические задачи
39
где Ах есть постоянная решетки, и отсюда
их "I- иих б иххх - 0, (1 .77)
Здесь б2 = Ах2/\2&. При Ах ~ 1/64 и е - 1/10 получим б " 0.022.
Численное решение уравнения (1.77) показало [1.2], что при периодических
граничных условиях из синусоидальных начальных данных развивается
сглаженный прыжок, величина которого достигает амплитуды ударной волны,
отвечающей выбранному малому б2. Затем профиль разбивается на пики,
столк-новительные свойства которых побудили Забуски и Крускала [1.2]
назвать их солитонами. Чтобы охарактеризовать поведение решения при
переходе через прыжок, Крускал и соавторы искали законы сохранения.
Уравнение (1.77) уже записано в консервативной форме, причем
сохраняющейся плотностью служит 7м = и. Однако Т2 = и2 и Т3 = 2ы3 - и\
также являются сохраняющимися плотностями. Миура и др. [1.67] нашли 10
полиномиальных сохраняющихся плотностей для уравнения КдФ в форме (1.3) и
доказали существование бесконечного числа нетривиальных Т'. Каждый член
ПuaJ в Тг (где и,- - снова /'-я производная) имеет в этом случае
рангг=?(1 -f j/2)a.; Т10 = ыш/Ю-
/
- 36и7и\ . .. + 419904ы|/12155 имеет ранг 10 и содержит
32 члена [1.67].
ФПУ рассмотрели также решетку с ангармоничностью не третьей, а четвертой
степени. При этом получается уп - ухх (1 + -f ег/2) и, следовательно,
модифицированное уравнение КдФ vt + v2vx + vxxx = 0. (1.78)
У него также есть законы сохранения. Миура [1.62] нашел преобразование
u = v2-\- д/-6 у*, связывающее их. Множитель
V-6 не создает трудностей: преобразование Миуры [1.62]
и = v2 + vx - это ПБ (1.44), нормированное так, чтобы связать КдФ и
модифицированное КдФ, записанные соответственно следующим образом:
ut - 6иих + иххх = 0, (1.79а)
vt - 6v2vx + vxxx = 0. (1.79b)
Преобразование Риккати v - д(1пф)/&к линеаризует v2Jf vx и и = фоУф.
Преобразование Галилея
x' = x - Vt, U->u + V
оставляет уравнение щ - иих + иххх - 0 без изменений. Следовательно,
в результате получим и и + X - фхлг/ф и задачу на
Собственные значения для уравнений Шрёдингера
- Ф** + "Ф - - Аф. (1.80)
40
1. Солитон и его история
Далее, подставляя и = фхх/ф- Я в уравнение КдФ (1.79а), получим [1.1]:
a) Я< = 0 для связанных состояний (Я > 0), даже если и зависит от t;
X
b) Ф,+Ф,"-3(и-Я)фж = Сф + /)ф$-^-. (1.81)
причем [1.1] D обращается в нуль для Я > О, тогда как С можно обратить в
нуль с помощью нормировки собственных функций связанных состояний.
Поскольку "->- 0 при |х|->-оо, то собственная функция ф", отвечающая Кп >
0, принимает вид
"ф" ~ сп {t) exp (- knx) при х->-оо (1.82)
(kn = Xln2), и из (1.81) сп (t) = сп (0)exp Ak3nt.
При К - -k2 < 0 решение уравнения (1.80) для больших ]х| есть линейная
комбинация членов вида exp ± ikx. Если
ф ~ехр(- ikx) + bexp(ikx) х->-оо, (1.83а)
ф ~ аехр(- ikx) х -> - оо, (1.83Ь)
то a{k, t) есть коэффициент прохождения, b(k, t)-коэффициент отражения,
причем |а2| +1?>2| = 1. Так как спектр при КО непрерывен, то Я можно
выбрать так, чтобы Я/ - 0 также и в этом случае. Подстановка (1.83а,
Ь) в (1.80) дает D = 0,
С = 4ik3 и два уравнения, из которых легко получить
а (k, t) - a{k, 0)
b{k, t) - b (k, 0) exp (8/й3/). (1-84)
Ключевой момент состоит в том, что данные рассеяния а, Ь, сп и Яп
позволяют реконструировать значение и для любого времени /. Пусть К(х,у)
при у^х есть решение уравнения Гель-фанда - Левитана [1.111,1.112]
оо
К(х, у) + В(х + у) + К(х, г) В (у + z)dz = 0, (1.85а)
X
где
+ оо
= S b(k)exp{jkt)dk + ?с2"ехр(й")|. (1.85b)
- ОО п
Тогда
и (х, /) = 2-^- К{х, х). (1.85с)
Процедура решения уравнения КдФ (1.79а), т. е. уравнения КдФ (1.1), тем
самым состоит в следующем:
I) отобразить начальные данные и(х, 0) в данные рассеяния S ={Ь (k,
0), сп (0) и Яя (n = 1, ..., N)};
1.5. Представление нелинейных эволюционных уравнений
41
II) вычислить временную эволюцию данных рассеяния, как указано выше;
