Солитоны - Буллафа Р.
Скачать (прямая ссылка):
[1.3]. Забуски и Крускал выдвинули на первый план другое свойство
солитонов, а именно то, что два импульса формы (1.5) при х = -оо, t^>-оо
могут столкнуться в области конечных х, но выходят из столкновения с
неизменными формами и скоростями. Имеется некоторый сдвиг их положений в
выражениях (1.5) при t-y оо (фазовый сдвиг). Этот сдвиг обычно мал, но не
всегда [1.29]. Мы примем поэтому в качестве рабочего определения солитона
следующее. Солитон - это уединенная волна, сохраняющая свою форму и
скорость после столкновения с другой такой уединенной волно'й,
1.2. Определение солитона
17
Эти требования к уединенной волне являются весьма жесткими. Возьмем,
например, "уравнение <р4", получившее свое название от плотности
гамильтониана Н - <р?/2 + ф^/2 ± (ф2/2 - - Ф4/4). Энергия ограничена
снизу в случае знака минус. В таком виде это уравнение используется как
модель в теории поля [1.30, 1.31]. Уравнения движения в терминах
зависимой переменной и = ф суть
ихх - Щ = ± (и - и3). (ЫЗ)
Они имеют решение в виде уединенной волны
u = ±sech-\ у ¦ Vt- (1-14)
л/2 л/l-V2
(знак "+" в (1.13)) или решения типа "кинк" ("антикинк")
и = + th -j=- x~Vt - (1.15)
д/2 д/l ~ V2
(знак "-" в (1.13)). Ни решения (1.14), удовлетворяющие условиям ц->-0,
|х|->-оо, ни кинки, удовлетворяющие ы-"-±1, х-*¦-оо и ы->- + 1, х->-оо,
не обладают требуемыми простыми столкновительными свойствами солитона.
Эти решения могут неупруго сталкиваться, сцепляясь или уничтожая друг
друга
[1.32]; кроме того, в процессе столкновения они всегда испускают
некоторое осциллирующее возмущение, или "излучение"
[1.32]. С другой стороны, уединенные волны или кинки довольно большого
числа двумерных уравнений имеют солитонные столкновительные свойства.
Среди них - уравнения КдФ, НУШ, СГ.
Заметим, что солитон (1.5) с параметром а = а2 > aj будет обгонять второй
солитон с параметром ось Ясно, что он пройдет через второй солитон, так
что асимптотически солитоны поменяются местами. Точно так же набор N
солитонов уравнения КдФ с параметрами ац > ац-\ > ... > он, упорядоченные
в последовательность N, N-1, ..., 1, при -оо
станут упорядоченными естественным образом 1, 2 N при
t-*-oo. Такая интерпретация, однако, субъективна, поскольку можно
считать, что солитоны, сохраняя порядок, просто обмениваются энергией,
импульсом (и амплитудой) в процессе столкновения. Такое частицеподобное
поведение и объясняет происхождение термина "солитон" [1.2].
Вторая интерпретация может быть сохранена, хоть и не в таком простом
виде, и в случае столкновения решений типа бризера и кинка СГ-уравнения.
Аналитическая форма этих двух решений дается формулами (1.29) и (1.23)
соответственно. Само решение типа бризер плюс кинк содержит три параметра
ai и может быть найдено из (1.22). Первое впечатление состоит Ь том что
бризцр проходит через кинк, приобретая лишь
18
1. Солитон и его история
фазовый сдвиг. Основное, однако, в этих двух различных, но одинаково
разумных интерпретациях состоит в том, что, во-первых, столкновения
являются упругими, так что никакого дополнительного возмущения вроде
"излучения" в процессе столкновения не возникает, и, во-вторых, решения
могут быть найдены аналитически для всех времен с помощью;-например,
метода обратной задачи.
В качестве примера мы дадим А^-солитонное решение уравнения КдФ (1-3).
Граничные условия суть ц->- 0, |*|->-оо, и со-литонное решение имеет вид
и = \2{\nF)xx, F = det Fnm,
F = Л 2 (gnctm)1/2 С nm Опт a"-\-am /я* U-16)
f" = exp [a, (*-*")+<#],
где an и xn - вещественные параметры. Насколько нам известно, решение в
такой форме было впервые дано Хиротой [1.33], который использовал прямой
метод (см. гл. 5), а не метод обратной задачи. Хирота работал с
уравнением (1Л), и его решение получается из (1.16) масштабным
преобразованием.
В частном случае N = 2
+ (1.17)
Из (1.16) можно найти, что при fi ж 1, f2 <С 1
и = |Г+г|)~= 3a'sech2 [~2~ (* ~ *¦ ~ a*o] ' (U8)
тогда как при fi ж 1, f2 > 1 и
и = 3a2 sech2 р^- (* - х{ - a2^ j,
где
Таким образом, при fi ж 1 и имеет вид уединенной волны (1.5), если f2
очень мало или очень велико; в последнем случае, однако, и испытывает
сдвиг аргумента (фазовый сдвиг) In [ (а2 +! -f- ai)/ {а2 - <х\) ]2 по
отношению к первому случаю.
Положим а2 > <%\ > 0 и х2 < хх < 0. Тогда при t = 0 больший солитон с
параметром а2 расположен существенно левее меньшего, имеющего параметр
а,\. В самом деле, для* - * +а^ при t ж 0 получим ft = 1 и f2 < 1, в то
время как для
1.2. Определение солитона
19
х = х{ +а^ при t^>- оо fx = 1, h " 1, /2 1- Можно видеть, что
при возрастании t от нуля больший солитон проходит через меньший, вызывая
сдвиг аргумента 1п[(а2 + ai)/(a2- он)]2. Аналогично для х = х2-\-а% при t
" 0, /2 " 1, /1 1, тогда
как для x = x2 + a^, t->¦ оо /2=1, /, <С 1, и можно видеть, что больший
солитон, проходящий через меньший, получает сдвиг аргумента -ln[(a2 +
он)/(а2 - сн)]2. Анализируя аналогичным Образом Л^-солитонное решение,
