Солитоны - Буллафа Р.
Скачать (прямая ссылка):
(1.26)
В jV-солитонном столкновении (2Мгс-кинк)
<-1
N
sgn (i /') In ац, (1.27а) (1.27b)
i=i+1 N
/-1. 1 + 1
? (б^+-бг)=о.
i=i
al = a\ = aR -f ia[ = ae1*,
*i = *2 = xR + ixJt мы получаем "дышащие" солитоны - бризеры и (х, /) = 4
arctg г sin 02 sech 0Л,
(1.29 а)
(1.28)
1. Солитон и его историй
где
1
2 а1х1<
r-aRajx- ctgp, Г=(1 - а2)(1-fa2)-1. (1.29b)
В нелинейной оптике это решение называется "Оя-импульсом", поскольку в
нем и меняется от нуля до нуля при изменении х от -оо до +оо. Точно так
же кинк именуется 2я-импульсом. Такая терминология связана с тем, что
наблюдаемой величиной является электрическое поле е ~(ut + их) (в
действительности наблюдается интенсивность е2). В теории, описанной в гл.
2, импульс имеет "площадь" 2я, если он представляет собой 2я-кинк;
площадь равна нулю, или Оя, если импульс является бризером (1.28).
В произвольной системе отсчета энергия бризера легко вычисляется и равна
[1.39]
16ул[г2(1 + r2)_1]1/2= 16YtfCOsp, (1.30)
где у^==(1 - Г2)1. Бризер поэтому имеет массу покоя 16cosp.
Соответствующая энергия 2я-кинка (1.23) равна 8уь а для 4я-кинка (1.25)
она есть 8yi + 8у2. Масса кинка поэтому равна 8. Заметим, что бризер
осциллирует с частотой (1 - F2)_1/2 sin р. В системе отсчета V = 0, а=1
u(x,t) представляет собой стоячую волну
и(х, /) = 4arctg {ctgp sin [(sin p) sech [(cos p) л; -
--j**]}. (1-31)
осциллирующую с внутренней частотой sin р. Ей соответствует та внутренняя
степень свободы, которая при квантовании СГ-уравнения дает нетривиальный
дискретный спектр [1.40, 1.42]. Колеман [1.43] дал простое объяснение
этому спектру. Другой подход к квантованию СГ-уравнения, идущий от
связанных с ним задач статической физики, изложен в гл. 12.
Как уже отмечалось, бризеры, кинки и антикинки ведут себя как солитоны
при столкновениях. СГ-уравнение может быть решено с помощью обратной
задачи для системы двух уравнений первого порядка [1.44, 1.45]. Уравнения
КдФ и НУШ также решаются этим способом [1.38, 1.44]. У уравнений,
резреши-мых посредством 2X2 схемы обратной задачи рассеяния, предложенной
Захаровым и Шабатом [1.38], а также Абловицем, Каупом, Ньюэллом и Сегуром
(АКНС) [1.44, 1.45], не может
1.2. Определение солитона
23
быть более сложных солитонов, чем sech (или sech2 для уравнения КдФ),
кинки и бризеры.
Заметим, что два солитона уравнения КдФ или два кинка СГ-уравнения должны
двигаться с различными скоростями (взгляните на выражения (1.16) и,
скажем, (1.25)); поэтому любое возмущение, содержащее их, должно
распасться. С другой стороны, любое число солитонов НУШ могут двигаться с
одной и той же скоростью, и любое число бризеров СГ-уравнения также может
иметь одинаковую скорость, которая притом может совпадать со скоростью
одиночного кинка или анти-кинка. Это происходит потому, что скорости
бризеров СГ-уравнения определяются из его задачи рассеяния модулями пар
комплексных собственных значений (?,-?*); аналогично (сравните с (1.9))
скорость солитона НУШ определяется Re{?}. Конечно, может существовать
любое число различных комплексных собственных значений ? с заданными |?|
или Re{?}.
Читателю, желающему подробнее узнать о том, как можно быстро выяснить в
общих чертах поведение солитонов, взглянув на связанные с ними задачи
рассеяния, мы рекомендуем прочитать гл. 6 и 9, например. Мы также
рекомендуем ознакомиться с формулами (1.100) и (1.101) настоящей главы и
со следующими за ними рассуждениями. Однако и теперь уже ясно, что у
уравнения КдФ не может быть никаких решений типа бризеров: собственные
значения связанных состояний для этого уравнения лежат на мнимой оси, ? =
гц (ц > 0), и они не могут встречаться парами. Заметим также, что для
задач рассеяния более общего вида солитонные решения могут быть более
сложными. Захаров и Манаков [1.46], а также Кауп
[1.47] решили задачу о взаимодействии трех волн
И, ( + х - iqu^iv
"2, t + щщ, х = iquxu3,
Щ .t + ^ = iqu(U2 (1.32)
(мы приводим здесь только случай затухания [1.22, 1.46,
1.47])
с различной степенью полноты в 1973 и в 1976 гг. Решение
методом обратной задачи требует применения схемы 3X3. Система (1.32)
недиспергирующая, но она обладает солитонными решениями. Здесь все три
ы,- суть комплексные волновые пакеты, q - константа взаимодействия, а о,
суть вещественные постоянные скорости. Число солитонов в процессе
рассеяния не сохраняется [1.46, 1.47]. В гл. 7 Захаров обсуждает решение
задачи N-волнового взаимодействия, проявляющее еще более необычное
поведение, а в гл. 9 Калоджеро и Дегасперис описывают "бумероны" и
"траппоны", являющиеся простыми со-литоцами с причудливыми траекториями.
24
1. Солитон и его история
Мы сделали эти разнообразные замечания с целью познакомить читателя с
некоторыми элементарными представлениями, связанными с понятием солитона.
В оставшейся части главы мы изложим историю вопроса с тем, чтобы ввести
некоторые значительно более глубокие математические и физические идеи.
1.3. Преобразование Бэклунда и сохранение плотности
