Солитоны - Буллафа Р.
Скачать (прямая ссылка):
классической теории солитонов; метод обратной задачи рассеяния для
решения уравнения КдФ, найденный Крускалом и соавторами в 1967 г., был
применен
B. Е. Захаровым и А. Б. Шабатом к нелинейному уравнению Шрёдингера;
Вадати и Тода обобщили явные решения уравнения КдФ; Вадати удалось решить
модифицированное уравнение КдФ ш + Qu2ux + Uxxx = 0, а Абловиц, Кауп,
Ньюэлл и Сегур (АКНС) обобщили 2X2 схему задачи рассеяния Захарова и
Шабата. В 1975 г. появились результаты для уравнения КдФ с периодическими
граничными условиями, полученные группой из Института им. Куранта, тогда
как первая работа
C. П. Новикова по этой задаче была опубликована на русском языке
несколько ранее. Кроме того, появилось несколько плодотворных физических
приложений теории солитонов; возможно, наиболее заметные из них относятся
к нелинейной оптике и были осуществлены Лэмом и манчестерской группой. К
этому времени обзорная работа Скотта, Чу и Маклафлина [1.4] была доступна
примерно в течение двух лет - срок как раз достаточный, чтобы изменить
точку зрения всего мирового сообщества физиков.
Специалисты по физике частиц искали фактически свой собственный путь к
представлениям о солитонах; в этой связи следует, в частности, отметить
работу Дашена, Хасслахера и Невё [11.23, 11.24], хотя они более чем
существенно опирались на результаты представителя "классической"
солитонной школы1)
') Практически используемое определение "классического" солитона см. в
гл. 1.
Предисловие
9
Л. Д. Фаддеева. Современные представления о солитонах в физике частиц
наиболее заметно совпадают с "классическими", являющимися основным
предметом настоящей книги, лишь в случае уравнения sine-Gordon и
связанных с ним систем, вроде нелинейных сг-моделей. Это, однако,
нисколько не противоречит тому факту, что классическая теория солитонов
оказала за последние четыре года глубокое воздействие на физику частиц,
хотя многие достижения последней в свою очередь повлияли на классическую
теорию солитонов.
Немало физических приложений солитонов было осуществлено в 1975 г. - в
частности, в физике твердого тела, где необходимо отметить работы по
волнам зарядовой плотности в линейных проводниках, и в статистической
механике, примером чего может служить работа Лютера. В физике плазмы, в
солитоноподобных теориях ленгмюровской турбулентности (см. [1.193]) и в
других областях нелинейной физики концепция уединенной волны также
сыграла определенную роль. Достижений чисто математического характера,
связанных с солитон-ной теорией, тоже было немало за эти годы. Полная
интегрируемость бесконечномерных систем с солитонными решениями была
осознана после замечательной работы Захарова и Фаддеева по уравнению КдФ,
появившейся в 1971 г., но приложения алгебраической геометрии для
отыскания солитонных решений (см. разд. 1.5), обнаружение связи между
многообразиями Якоби и интегрируемыми динамическими системами (см. разд.
1.7), формулировка преобразований Бэклунда с помощью расслоений джетов и
применение теории дифференциальных форм Картана к "структурам
продолжения" Уолквиста и Эстабрука (см. разд. 1.3 и 1.7) - все это
появилось значительно позже. Вследствие столь бурного развития теории
солитонов книгу можно было бы закончить до 1975 г. (в той форме, в какой
мы задумали ее в 1976 г.); однако позже этого срока осуществление
подобного замысла стало почти невыполнимой задачей.
Чтобы все же справиться с ней, мы сделали следующее. Во-первых, сузили
круг вопросов, рассматриваемых в тематических главах подробно, и
ограничили представленный в них материал (кроме двух исключений)
классическими солитонами, методами обратной задачи рассеяния для их
отыскания и связанными с ними гамильтоновыми структурами. Во-вторых, к
главам, тематика которых в 1976 г. была передним краем текущих
исследований, мы запросили у их авторов добавления, доводящие изложение
соответствующих вопросов до состояния на апрель 1979 г.'). В третьих, мы
написали большую вводную статью, вошедшую в настоящую книгу в качестве
первой главы. В ней мы попытались охватить (по крайней мере с помощью
ссылок на
') Статьи советских участников сборника остались на уровне 1976 г. ->
Прим. ред,
10
Предислоеие
соответствующую литературу) весь современный диапазон исследований
солитонов.
Получившаяся в результате книга не является элементарной; отчасти этот
факт отражает природу самого предмета, но, кроме того, он отражает наше
убеждение в том, что сейчас назрела необходимость создать первый
достаточно полный справочник по солитонам и методам обратной задачи для
тех, кто или уже работает с нелинейными задачами, или хочет это делать.
Для таких читателей наиболее существенно понимание современных
возможностей аналитической теории солитонов. Тем не менее мы попытались в
длинной вводной главе осуществить постепенный переход от элементарных
физико-математических идей (которые, как мы надеемся, станут еще
интереснее, будучи сопровождены историческими заметками) к весьма
