Солитоны - Буллафа Р.
Скачать (прямая ссылка):
одно-$олнтрнные решения 4arctg exp [kx -f- 2П (ik/2)?], где Q(?) =-
(//2)ы(-2С), а со (А) есть линеаризованное дисперсионное соотношение
рассматриваемого
32
1. Солитон и его история
х-г(1-г)х, t-"-(l-[-e)t и конечным масштабным преобразованиям х-"-а_1х,
t^*-at. Отсюда легко видеть, что это единственное лоренц-ковариантное в
лабораторных координатах уравнение. Из теоремы, утверждающей, что
нелинейное уравнение Клейна - Гордона (1.37) имеет п. с. пл. (1/2)ранга
2, но имеет вторую сохраняющуюся плотность ранга 4, включающую ихх, тогда
и только тогда, когда Р{и) -f- a2F(u) - 0 [1.65, 1.66) (и, стало быть,
бесконечный набор таких плотностей [1.66]), следует, что F(u) = Аеаи +
Ве~аи. Из требований, чтобы и и F(u) были вещественными, а и = б = const
было решением уравнения (1.37), следует, что это уравнение будет иметь
вторую полиномиальную плотность ранга 4 тогда и только тогда, когда
F(u) = Ash(u - 6) (1.60а)
или
F (и) = В sin (и - б); (1.60Ь)
в обоих случаях существует бесконечное семейство сохраняющихся
плотностей.
Уравнение sh-Gordon uxt = sh(" - б не имеет ограниченного решения типа
уединенной волны или решения с постоянным профилем, определенного на всей
оси х (его решение есть ц==4агШ0, Q - kx-\-k.-lt, определенное при
0^0о<О). Оно связано с СГ-уравнением преобразованием и - б-*-i(u - б),
откуда uxt == sin и. Обратившись к разд. 1.4 и последующему обсуждению
метода обратной задачи рассеяния АКНС (соотношения (1.100) и (1.101)),
легко увидеть, что в обратной задаче рассеяния (1.100) матрица L эрмитова
и, следовательно, нет связанных состояний. Поэтому нет и многосолитонных
решений уравнения sh-Gordon. Для простых волн (1.12) ситуация аналогична.
Один из следующих отсюда результатов состоит в том, что существование
бесконечного набора сохраняющихся плотно-
уравнения. Для самого СГ-уравнения ьз(к) = krx = 2Q(ik/2). Для следующего
члена ш(?) ~ к~3 [1,69], Поэтому линеаризованное уравнение есть
X X'
uxxxt =" Аи (А = const), или их( = А ^ ^ и (х", /) dx"dx'. В
[1.42] мы по-
- оо -оо
лагали (см. примечание 5 этой работы), что уравнение движения, выведенное
из сохраняющейся плотности -((4/2) cos и в (1.58), а именно (и?/2) sin и
- - utt cos и, является следующим членом последовательности интегрируемых
СГ-уравнений. Однако это уравнение не имеет решений вида 4arctg exp [kx+
+2П((й/2)<], а его дисперсионное соотношение есть ш = к. Это замечание к
тому же исправляет ложное впечатление, создаваемое упоминаемой ниже
работой [1.195], будто сохраняющаяся плотность u?/2cosu дает следующее
интегрируемое СГ-уравнение. См. также конец разд. 1.6, где снова
рассматриваются интегрируемые СГ-уравнения.
1.3. Преобразование Бэклунда и сохранение плотности
33
стей недостаточно для наличия многосолитонных решений. Уравнение sh-
Gordon - лишь один из примеров, показывающих это; уравнение простой волны
(1.12)-другой пример (третий - это линейное уравнение Клейна - Гордона
[1.71]). Однако самый важный результат-то, что мы показали следующий
факт: СГ-уравнение является единственным нелинейным уравнением Клейна -
Гордона, обладающим двумя последовательными п. с. пл. рангов 2 и 4,
решением в виде неизменного профиля с конечной энергией и солитонными
решениями. Кулиш [1.72] также вывел, что СГ-уравнение является
единственным уравнением, имеющим решения с конечной энергией, вторую
сохраняющуюся плотность и, следовательно, бесконечно много таких
плотностей. Тот факт, что это уравнение единственно для одного поля с
бесконечным количеством сохраняющихся плотностей, делает очевидным
следующее: 5 - матрица квантованного
СГ-уравнения полностью определена [1.71]. Стало быть, СГ-уравнение-
весьма особенное и замечательное уравнение. Лютер в гл. 12 также
указывает, исходя из иных соображений, на особый характер квантованного
СГ-уравнения.
Уравнение sh-Gordon uxt = sh и превращается в СГ-уравнение заменой
Исследуем вкратце, что произойдет при
вращении независимых переменных х, t в комплексной плоскости. Конкретнее
рассмотрим СГ-уравнение (1.11а) с заменой х{х iy)/2, t-*~(x- iy) /2.
Очевидно, что мы получим
ихх Uyy = sin и (1.51)
с решениями и в двумерном евклидовом пространстве. Это уравнение
представляет интерес для статистической механики в связи с двумерными
вихревыми моделями [1.73, 1.74]. Для него известно АПБ (сравните с
(1.37))
и'х = - iuy + k sin y ("' + и) + k~l sin у (и' - и)
- iu'y = их + k sin ~ {и' + и) - AT1 sin у ("'¦ - и). (1.62)
Условия интегрируемости и'ху = и'ух и иху=иух дают
ихх + и'уу - sin и' = ихх + иуу - sin 11 = 0. (1-63)
При и - 0 решение уравнения (1.62) - это "кинк"
и' - 4 arctg ехр[(х - Vy)/( 1 + К2)1/2]. (1.64)
Выбирая на каждом шаге \k\ = \, можно построить вещественные
многокинковые решения повторным использованием этого АПБ, хотя не все
промежуточные шаги дадут вещественные решения. Двухккнковое решение имеет
вид
и{х, f/) = 4arctgrch0/sech0s (1.65а)
34
1. Солитон и его история
где г - ctg ja, a
