Солитоны - Буллафа Р.
Скачать (прямая ссылка):
соавт. [1.89], а также Кулиш и Ниссимов [1.90, 1.91]. В последних работах
показано, что квантование приводит лишь к небольшим изменениям
классических законов сохранения. Михайлов [1.92] установил, что
классическая массивная модель Тирринга разрешима методом обратной задачи
рассеяния и обладает бесконечным набором законов сохранения. Классические
результаты для СГ-уравнения, конечно, те же, что и в формулах
(1.54), (1.59). Еще один важный результат - то, что из существования
бесконечного набора сохраняющихся плотностей для некоторого нелинейного
эволюционного уравнения следует разложимость его S-матрицы [1.72, 1.93-
1.95].
Вследствие этого S-матрицы для квантованного СГ-уравнения и для массивной
модели Тирринга были вычислены точно [1.71, 1.93, 1.95]; они неизбежно
совпадают. Ныне вычислены S-матрицы также для других моделей теории поля
[1.95, 1.96] с размерностью 1 + 1.
1.4. Другие физические задачи и открытие метода обратной задачи
рассеяния
В течение 1960-1967 гг. ряд физических задач повлиял на развитие теории
солитонов. Маккол и Хан [1.26, 1.97] изложили теорию самоиндуцированной
прозрачности (СИП) и привели экспериментальные результаты, ее
подтверждающие. Для огибающей электрического поля, проходящего через
среду двухуровневых атомов, они нашли аналитическое решение в виде
импульса, имеющего форму гиперболического секанса, первоначально такое
решение они обнаружили численными методами. Они также открыли распадение
оптического импульса на последовательность sech-импульсов и поняли, что
последние связаны с 2я-кинками СГ-уравнения. Однако /V-кинковое решение
(1.22) СГ-уравнения было обнаружено лишь в 1972-1973 гг. [1.81, 1.82,
1.98]. Теорию СИП рассматривают Лэм и Маклафлин в гл. 2. Ранняя работа по
СИП принадлежит Ареччи и Бонифацио [1.99].
1.4. Другие физические задачи
37
В 1964 г. Чиао и др. [1.100] получили НУШ при изучении оптической
самофокусировки и расщепления оптических пучков.
Они нашли решение (1.21) этого уравнения (в виде гиперболического
секанса) для поперечного амплитудного профиля одиночной филаменты. Для
нейтрального диэлектрика можно привести следующие простые рассуждения
[1.22, 1.23]. Скалярный атомный диполь P(x,t), индуцированный скалярным
полем Е(х, t), для изотропных атомов имеет вид
Р{х, t) = аЕ(х, t) + ан\.Е(х, О3 + •••, (1-67)
где а и gcnl суть линейная и нелинейная поляризуемости. Уравнение
Максвелла, конечно, линейное и имеет вид
V2? - c~2d2E/dt2 = 4тс~2д2Р1&2, (1.68)
где п есть сглаженная плотность атомных чисел. Ища решение в виде
комплексной огибающей, модулирующей несущую волну для Е, а именно в виде
Е(х, t) = г(х, у, z, /)ехр[*(°^ - kz)] + ... (1.69)
и налагая линейное дисперсионное соотношение со2 = c2k2 - - 4яяш2а,
находим
ехх + еуу + со2с_212ляаыь| е |2 е -f 2/c"2[a>et(l + 4яяа) - с2Ьег] -0.
(1.70)
В частности, для стационарных решений после масштабного преобразования
получим
ехх + вуу + 21 е |2 е - iez - 0. (1.71)
Это двумерное НУШ с пространственными переменными (х, у) и "временем" г.
Очевидно, что это уравнение неустойчиво
[1.101] - решения в двух пространственных измерениях растут до
бесконечности за конечное время - но для одного пространственного
измерения (х) оно сводится к (1.9). Чиао и др. пришли к этому уравнению с
помощью нелинейной зависимости диэлектрической постоянной от
интенсивности. Лэм и Маклафлин (гл. 2) получили его в другой задаче
нелинейной оптики, инзбург и Питаевский [1.102], Питаевский [1.103] и
Гросс
1.104
1.105
нашли (стационарное) уравнение Гросса - Питаевского
а -\-b\uf - ¦- V2" = 0 (1.72)
При изучении сверхпроводимости. Бенджамин и Фейр [1.106] обнаружили
неустойчивость волн на глубокой воде, носящую их имена; эта
неустойчивость порождается группированием синусоидальных волн в волновые
пакеты с солитонными огибающими, управляемыми НУШ. Бенни и Ньюэлл [1.107]
изучали
38
1. Солитон и его история
НУШ именно в этой связи. Появилось обобщение НУШ, имеющее вид
ихх + 2 [1 - ехр(- I и |2)] и -f iut =0, (1-73)
которое применялось в теории кавитонов в плазме, для описания фотонных
пузырьков и взаимодействия радиации с плазмой [1.22, 1.23]. Связь этого
уравнения с уравнениями ленгмюров-ской турбулентности, выведенными
Захаровым [1.108], установлена в [1.64].
НУШ было решено Захаровым и Шабатом [1.38] в 1971 г. и впоследствии
[1.109] в 1973 г. с помощью первой версии 2 X 2-схемы обратной задачи
рассеяния. Эти великолепные работы замечательны количеством содержащихся
в них аналитических результатов и новых методов; не последний из них -
вывод в [1.38] бесконечного набора сохраняющихся плотностей для НУШ
методом, применимым ко всем АК.НС системам [1.44, 1.45] с задачей
рассеяния 2X2 [1.42, 1.69]. Принципиальная важность этой работы, однако,
состояла в демонстрации того, что метод обратной задачи рассеяния [1.1],
предназначенный для решения уравнения КдФ, пригоден не только для этого
уравнения. Нам кажется, что в качестве введения в метод обратной задачи
