Солитоны - Буллафа Р.
Скачать (прямая ссылка):
Поскольку k произвольно, величины и\, и\х + 2 ихиххх + ... сохраняются
каждая по отдельности. Полные дифференциалы 2ихиХх, .. •, появляющиеся
при нечетных степенях k, сохраняются тривиально, поскольку их можно
связать не с плотностью Т, ас потоком X для любого закона сохранения
Т( + Хх = 0 (1.53)
вида (1.47). Отбрасывая некоторые полные дифференциалы, можно получить из
(1.52), что нетривиальный набор сохраняющихся плотностей для СГ-
уравнения, следовательно, можно записать [1.66] в виде
Г = 1 и\, r = = +
Т*~~2 U\xxx Т ИхххИх "Ь "8 и*хх "Ь "Тб" и2ххих "Ь "128" U*'
Г10=.... (1.54)
Заметим, что плотности суть полиномы от их, иХх и т. д., т. е. п. с. пл.,
и что каждый член в Тг (где ы/ - это /-я
частная производная) имеет один и тот же ранг г, определяемый формулой г
= Z ja,. Оказывается [1.66], что существует /
бесконечный набр таких нетривиальных полиномов (здесь г - любое четное
целое число). Соответствующий бесконечный набор полиномиальных
сохраняющихся плотностей для уравнения КдФ, первый из обнаруженных
наборов этого рода [1.67], порождается ПБ (1.44) вместо (1.47).
Полиномиальный характер сохраняющихся плотностей
(1.54) и сохраняющихся плотностей для уравнения КдФ (1.67) связан с
задачами рассеяния, позволяющими решить эти уравнения. Набор (1.54) - это
частный случай более общего набора, выводимого из задачи рассеяния 2X2
АКНС [1.42, 1.68]. Сохраняющиеся плотности СГ-уравнения (1.10) в лоренц-
кова-риантной форме не являются полиномами [1.66]. Заметим во всяком
случае, что по крайней мере половина сохраняющихся
30
1. Солитон и его история
плотностей СГ-уравнения в конусных переменных - это не полиномы, так как
в (1.51) поток /г2 cos и', согласно (1.50), можно записать в виде
/г2 cos и' = k2 cos u[l - \k2u2x - k3uxuxx - к\ (и"х+-| и*) + ... ] /s2
sin и |' ких "Ь k2uxx k3uxxx k4[uxxxx + "X* - Зи, (uxxx + -gj- и(r))]+...
.. (1-55)
Тогда
X2 = - (1 - cosu), X3 = - ux sin u,
X4 - - u2 cos и + uxx sin ы),
^5= - (UxUxx C0SU + Uxxx Sin И). ^6=- ["* (uxxxx+^ru3x) C0SU+ (j^xxxx "t"
UxUxx UxUxxx ~2 Ux) sin wj , . . . (1.56)
и
xm = fm cos и + gm sin u, (1.57)
где fm и gm - полиномы степени m - 2 от ux, uxx и т. д. Плотности Tm и
потоки Xm тогда удовлетворяют закону сохранения, аналогичному (1.53), для
каждого т, если отбросить в (1.53) полные дифференциалы.
Поскольку СГ-уравнение (1.10а) в конусных переменных инвариантно к замене
х на t и наоборот, то
ж(соз"-1) + 1г(т"?)=0
¦|-(--5'"?соз") + -|г(т""-Т"0==0 (L58)
и, вообще говоря, каждый поток Х2п дает сохраняющуюся плотность в
результате замены д/дх на d/dt повсюду в этом выражении. Следовательно,
существует второй бесконечный набор сохраняющихся плотностей Т2п
Т2 = cos и - 1,
2п О'59)
^ = /гп cos и + &2я sin ы, п ^ 2,
где ftn и g2n суть полиномы по ut, Utt и т. д. ранга (по /) 2п - 2. Легко
показать [1.42, 1.69] (см. также гл. 11), что плотность Т2 в (1.59)
служит плотностью гамильтониана для СГ-уравнения
1.3. Преобразование Бэклунда и сохранение плотности
31
(1.11а) в конусных переменных. Представляется, однако, что
+ оо
константы движения ^ Т2п dx для не находятся в ин-
- 00
волюции.
К счастью, существует третий бесконечный набор сохраняющихся плотностей,
находящихся в инволюции. Их существование связано с дисперсионным
соотношением ю = krl и его полюсом в точке k = 0. Как это происходит,
описано Ньюэллом в гл. 6. Подробности для СГ-уравнения приводятся также,
например, в [1.42], [1.69], где показано, что после подходящего
масштабного преобразования набор (1.53) представляет плотности импульса,
а третий бесконечный набор - плотности энергии для бесконечного ряда
обобщенных СГ-уравнений, каждое из которых разрешимо методом обратной
задачи рассеяния и является полностью интегрируемой бесконечномерной
гамильтоновой системой. Этот бесконечный ряд аналогичен бесконечному
набору уравнений КдФ, впервые обнаруженному Лаксом
[1.70] в 1968 г. Последний набор уравнений КдФ описан более точно в
разд. 1.4. Фаддеев рассматривает плотности импульса и энергии для СГ-
уравнения в гл. 11. Индивидуальные сохраняющиеся плотности, дающие
находящиеся в инволюции константы движения, вычислены в конце разд. 1.6
(формулы (1.153)).
Уравнения, составляющие бесконечный набор полностью интегрируемых СГ-
уравнений, легко описываются через данные рассеяния [1.69]. За
исключением самого СГ-уравнения, уравнения движения сложны и, по-
видимому, включают нелокальные операторы1). СГ-уравнение оказывается
единственным уравнением, инвариантным к инфинитезимальному преобразованию
>) Плотность гамильтониана для следующего члена бесконечной
последовательности СГ-уравнений, вычисленная методами работ [1.42] и
[1.69], дается формулой
X , X'
ЗЙ2 = - n- exp
[- [ ( [sin " dx") W- (-tg 1) dx'] x X | ^ S sin " dx',Sj sec2 Y + T ^
\ sinud*"^ sec4 X
Xexp[ U
Xi на самом деле тривиальна, и Хз является следующей нетривиальной
плотностью. Известно [1.42, 1.69], что интегрируемые СГ-уравнения имеют
