Солитоны - Буллафа Р.
Скачать (прямая ссылка):
предложенной АКНС [1.44].
Тот факт, что ПБ может быть линеаризующим преобразованием, впервые
отмечен в работах Хопфа [1.59] и Коула [1.60] в 1950 г. Эти авторы
независимо линеаризовали уравнение Бюргерса
щ + иих - шхх = 0 (v > 0). П.42)
Преобразование Бэклунда
и'х = - (2v)_1 ии',
u't - - (4v) 1 (2vux - "2) и' ^ ^
не является АПБ: оно отображает решение и уравнения (1.42) в решение и'
уравнения теплопроводности u't-vu'xx = 0. Преобразование " = -2v(ln"')*
есть преобразование Хопфа - Коула: оно линеаризует уравнение Бюргерса,
сводя его к уравнению теплопроводности, что позволяет точно решить
исходное уравнение.
Преобразование Бэклунда
ti'x -- 2и - (u'f,
u't = 8 и2 + 4" (u'f + 2 ихх - 4 ихи',
(1.44)
1.3. Преобразование Бэклунда и сохранение плотности
27
нашли Уолквист и Эстабрук [1.61] в 1975 г. Оно связывает уравнение
Чххх Ч- Щ Ч- 12wwjf = 0 (1.45)
с модифицированным уравнением КдФ
Ч-ххх Ч" Ч-t = 0, (1.46)
решение которого есть и'.
Преобразование, связывающее и'х, и и и' в (1.44), - это преобразование
Миуры [1.62]. Оно оказалось основополагающим для открытия метода обратной
задачи рассеяния, как будет показано ниже.
Существуют также наборы "сохраняющихся плотностей", связанные с
нелинейными эволюционными уравнениями, имеющими солитонные решения; они
также являются фундаментальными и сыграли важнейшую роль в истории
вопроса. Эти плотности часто бывают "полиномиальными сохраняющимися
плотностями" (п. с. пл.), т. е. полиномами от и, их, иХх, ... и т. д.
Например, плотность "2/2 удовлетворяет уравнению
(T"0.+[^wd"'L=o' (ь47)
если и удовлетворяет (1.37). Отсюда и из того, что и-у 0 при
оо
|jc{->- оо, следует, что J ("2/2)dx является интегралом движе-
- оо
ния. Существование "закона сохранения" вроде (1.47), стало быть,
определяет и2/2 как локально сохраняющуюся (полиномиальную) плотность,
которая сохраняется глобально при подходящих граничных условиях.
Уравнение (1.37) может не иметь солитонных решений для произвольной F(u);
однако во всех случаях, когда они существуют (а на самом деле для всех
известных авторам примеров, связанных с солитонами, за единственным
исключением - уравнений распространения неоднородно расширяющихся
оптических импульсов [1.63, 1.64], см. также разд. 1.4 и гл. 2 и 6),
локально сохраняющиеся величины также глобально сохраняются.
Представляется, однако, что для существования солитонов необходимо
бесконечное множество сохраняющихся плотностей. Как мы увидим, уравнения
с солитонными решениями оказываются примерами бесконечномерных полностью
интегрируемых гамильтоновых систем. Конечномерная полностью интегрируемая
гамильтонова система с 2л степенями свободы обладает интегралами
движения, находящимися "в инволюции". Необходимое условие полной
интегрируемости бесконечномерной гамильтоновой системы состоит в наличии
бесконечного числа
28
1. Солитон и его история
интегралов движения. Достаточные условия - это наличие в точности нужного
числа ("правильной" бесконечности) таких интегралов, находящихся в
инволюции. Инволюция означает, что скобки Пуассона этих интегралов равны
нулю. Мы вкратце вернемся к этому моменту в разд. 1.5. Подробности
читатель может найти в гл. 2, 6 и И, например.
Сохраняющиеся величины для уравнения КдФ сыграли ключевую роль в открытии
метода обратной задачи рассеяния
[1.1]. Их значение для истории вопроса мы опишем в разд. 1.4.
В отношении уравнений Клейна - Гордона (1.37) Крускал лет через пять
[1.65] сделал полезное замечание, что (1.37) всегда обладает одной
полиномиальной сохраняющейся плотностью и2х/2 (полином от их), но
необходимое и достаточное условие существования второй полиномиальной
плотности, содержащей ихх, - это выполнение соотношения Р(и) a2F(u) =0
для некоторого а. Тогда оказывается [1.65], что имеется бесконечное число
полиномиальных сохраняющихся плотностей (п. с. пл.). Крускал [1.65] также
использовал ПБ
и' = k~l sin (и' - и),
, , ь • , (1-48)
ut = ut + k sin и ,
которое отображает решение и уравнения uxt - sin и в решение и' уравнения
"', = [ 1 - А:2 ("')2]1/2 sinn', (1.49)
чтобы получить бесконечное число п. с. пл. для уравнения sine-Gordon. О
происхождении этого ПБ нам известно лишь, что оно появилось в работе
Крускала и было также найдено нами независимо, хотя и позднее [1.50].
Покажем теперь, как бесконечное множество п. с. пл. для СГ-уравнения
можно получить с помощью этого ПБ [1.50, 1.65, 1.66].
Запишем
и' = Z fn (")
0
и получим из (1.48), что
и' = и + kux + khixx + k3 (иххх + + k* (ихххх + uluxx)+....
(1.50)
Закон сохранения для (1.49) имеет вид
[(1 -k2(u'x)2)ll2-\t-k2(cosu')x = 0. (1.51)
Подставив (1.50) в (1.51), получим, опуская постоянные слагаемые и
множители, выражение (1.52) для сохраняющихся
t.3. Преобразование Бэклунда и сохранение плотности
29
в (1.51) плотностей:
Ul + k {2UxUxx) + k<l ("х, + 2UxUxxx + Т "О +
+ Р (2ихихххх + 2иххиххх + 2и\ихх) +
+ k4 (ju
XXX + 2uxxuxxxx + 2ихиххххх + +
+ 3""Х + -у"2ХЛ)+ •••• (1-52)
