Солитоны - Буллафа Р.
Скачать (прямая ссылка):
III) решить уравнение Гельфанда - Левитана (1.85а) и вычислить u{x,t) (t
> 0).
В частности, при отсутствии отражения b(k, 0) = 0, и решение становится
Мсолитонным, соответствующим формулам (1.16) (хотя и в другом масштабе).
Это замечательное открытие послужило отправной точкой всей теории
солитонов, за единственным исключением прямых методов, которые
разработали Хи-рота [1.33, 1.81] (см. также гл. 5) и в меньшей степени
Кодри [1.82]. Точная связь этих методов с методом обратной задачи
рассеяния пока не установлена, хотя, конечно, ищутся одни и те же М-
солитонные решения.
Здесь уместно объяснить некоторые термины. Процедуру (I) иногда называют
прямым преобразованием рассеяния или прямым спектральным преобразованием.
Процедуру (III) называют обратным преобразованием рассеяния или обратным
спектральным преобразованием. Вся процедура в целом называется методом
обратной задачи рассеяния или методом обратного спектрального
преобразования. Мы в основном пользуемся выражением "метод обратной
задачи рассеяния" или "метод обратной задачи". Он рассматривается с
различных точек зрения по крайней мере в пяти главах настоящей книги. Мы
надеемся, что вызванное этим обстоятельством пересечение тематики будет
скорее помогать читателю, чем раздражать его. Разд. 1.4 задуман как
введение в метод, который более подробно изложен А. Ньюэллом в гл. 6 и (в
несколько иной трактовке) В. Е. Захаровым в гл. 7.
1.5. Представление нелинейных эволюционных уравнений с помощью пар
операторов
Работа Лакса [1.70] вызвала существенное развитие метода обратной задачи
и способствовала лучшему пониманию его математической природы. Пусть даны
сравнительно простые дифференциальные операторы и -> Си == (-д2/дх2 + и),
Ви = == д2п+1/дх2п+1 + члены низшего порядка (Ви кососимметричен, Ви = -
Ви), такие что существует однопараметрическое семейство унитарных
операторов О, удовлетворяющих уравнению Ot = ВО, причем Си унитарно
эквивалентен относительно О, т. е.
(0Lu(t)U (t) не зависит от t\ тогда, как отмечает Лаке, выполняется
следующее.
I) Все собственные значения Хи оператора Lu являются интегралами
движения, т. е. Я", t - 0 (доказательство тривиально: Lu(0)=U 1 (t) LUU
(I), А"(0)ф(0) = Ааф(0). Тогда Cu{t)^(t) =
42
1. Солитон и его история
= Ли(/)* где Ф(0 = 0(ОФ(О)> т. е. 0(t) есть эволюционный оператор).
II) d/dtU~x (t)Lu(t)U (t) = 0 означает, что
- U~lUtU~xLuU + U~lLu. tU + U~lLuUt = 0.
Тогда если Ut = BU, то -0~хвЪий -\-UxLutU -\-U~lLBU-0, и
Lu.t = [B,La 1- (1.86а)
III) Так как ?a,t = ut, то операторное уравнение (1.86а) есть
эволюционное уравнение ut = K[u], в котором К [и] - это функционал от и.
Лаке [1.70] доказал, что начальные данные и(х, 0) однозначно определяют
решения упомянутых выше нелинейных эволюционных уравнений. Испробовав в
качестве кососимметрического оператора В = д3ЬддЬ (где д = д/дх), Лаке
также обнаружил, что при Ь = -(3/4)ц. (мы используем иные масштабы, чем
Лаке) (1.86а) дает уравнение КдФ. В дальнейшем метод был обобщен с целью
получить бесконечную иерархию уравнений типа КдФ со степенями 3 (само
КдФ), 5, 7 и т. д. Захаров и Фаддеев [1.113], а также Лаке [1.114]
впоследствии указали на существование симплектической структуры,
порождающей эту иерархию, которая, как теперь известно, свойственна всем
"интегрируемым системам" вроде КдФ, НУШ и СГ-уравне-ний. Представление
нелинейных эволюционных уравнений в виде "пары Лакса"
Lt = [В, L] (1.86Ь)
остается самым мощным методом получения аналитических решений таких
уравнений. Заметим, что подобное представление гарантирует постоянство
спектра собственных значений, так как если В кососимметричен, то решение
операторного уравнения Ui = §0 унитарно, и рассуждения п. II, приводящие
к (1.86а), можно провести в обратную сторону. Тогда ? унитарно
инвариантен относительно U, и его собственные значения являются
интегралами движения в силу (I).
Примечательно, что введенные Лаксом операторы В для иерархии уравнений
КдФ можно найти, определив квадратный корень Я оператора -?и выражениями
Я2 =-?и и ^ =
+ с0 + щсН + с2д~2 + ... . Тогда •-?и = д2 - и и Я2 - -?и есть д' 2с0<3 +
(с0_ х + с0 + 2cj + (с^ х 2с2 + 2с0с,), д 1 + ..., ¦сак что со = 0, С] =
-и/2, с2 = их/4. Очевидно, что главная часть Я (т. е. без отрицательных
степеней <Э)--это просто д, и уравнение [/?, LU\=LU, t превращается в
"* = "<• (1-87)
1.5. Представление нелинейных эволюционных уравнений
43
Однако главная часть R3'2 = {- Lu) R есть
д3 - ди -- ид + j их = d3 - -j ди - ид\ (1.88)
это оператор Лакса для уравнения КдФ. Другие дробные сте-
Й5/2 Л7/2
пени суть R , R и т. д.; они порождают лаксову иерархию уравнений КдФ.
Очевидно, что эта иерархия неединственна [1.115]1); структуры продолжения
[1.116] отчасти объясняют этот факт. Похоже, что здесь важно следующее
обстоятельство: если степень оператора С равна 2, то он является
скалярным оператором Шрёдингера Еи и порождает поэтому лаксову иерархию
уравнений КдФ. Но если Е имеет степень 3, что предполагается в работе по
