Солитоны - Буллафа Р.
Скачать (прямая ссылка):
сложному математическому аппарату, применяемому в настоящее время для
изучения интегрируемых систем.
Мы сознаем, что книга получилась объемистой; однако стоит подумать о том,
что осталось за ее пределами, и становится ясно, что уже сейчас необходим
второй том. Мы, учитывая предыдущий опыт, ничего в этой связи не обещаем:
теория солитонов уже оказалась в ситуации Тристама Шэнди1). Мы надеемся
тем не менее, что вошедшие в книгу материалы помогут исследователю найти
новую область математики, или физики, или какой-нибудь другой науки,
имеющую отношение к солитонам, или такую, где инстантоны (см. разд. 1.7)
либо другие новые решения приведут к совершенно новым воззрениям. Мы
надеемся также, что новичок сможет, прочтя эту книгу, понять, что же
представляет собой теория солитонов; ему придется для этого основательно
потрудиться, но мы убеждены, что его усилия будут достойно вознаграждены.
Мы признательны нашим коллегам, внесшим вклад в настоящую книгу и
проявившим при этом мастерство, глубокие знания и долготерпение. Мы
благодарны издательству Шпрингер за быстроту и точность, с которыми оно
выпустило книгу, как только ее рукопись была получена. Мы благодарны г-же
Памеле Квили за перепечатку рукописи, а также нескольким нашим коллегам,
выполнившим перевод статей, написанных на русском языке. Наконец, мы
признательны д-ру X. Лочу из издательства Шпрингер, проявившему при
неоднократных отсрочках представления рукописи чудеса терпения.
Манчестер, Робин Буллаф
май, 1980 г. Филипп Кодри
') Тристаму Шэнди потребовалось два года, чтобы описать первые два дня
своей жизни. Закончит ли он когда-нибудь свою биографию? Ответ на этот
вопрос можно найти в гл. 5 книги Бертрана Расселла "Mysticism and Logic",
СОЛИТОН И ЕГО ИСТОРИЯ
Р. Буллаф, Ф. Кодри
Настоящая глава представляет собой обзор истории соли-тона начиная с 1834
г. - даты первого описанного в литературе наблюдения "большой уединенной
волны" Дж. С. Расселлом. Солитоны рассматриваются здесь как средства для
изучения математических свойств обширного класса интегрируемых нелинейных
эволюционных уравнений; он включает, помимо прочего, уравнение Кортевега
- де Фриза (КдФ),уравнение sin-Gordonn нелинейное уравнение Шрёдингера. С
этой целью вводятся уединенные волны, солитоны, преобразования Бэклунда,
сохраняющиеся величины и интегрируемые эволюционные уравнения как
полностью интегрируемые гамильтоновы системы; на основе этих понятий в
последующих главах более подробно обсуждаются конкретные вопросы теории.
Описывается дифференциальная геометрия одного широкого класса нелинейных
эволюционных уравнений. Устанавливаются некоторые связи с нелинейными
теориями поля и с интегрируемыми многочастичными задачами. Краткая
биография Джона Скотта Расселла, составляющая большую часть разд. 1.1,
продолжена в виде приложения, помещенного в конце книги.
1.1. Открытие Расселлом "большой уединенной волны"
Методу обратной задачи рассеяния для решения нелинейных эволюционных
уравнений вида ut = K[u\, где К\и] некоторый нелинейный функционал от
и(х, t), уже около двенадцати лет1). Своим открытием метод обязан
Крускалу и др. [1.1] (1967 г.), которые показали, как решать уравнение
КдФ
щ = Ьиих - иххх (1.1)
этим методом и, в частности, как найти все его солитонные решения.
Понятие солитона было введено в статье Забуски и Крускала [1.2] в 1965
г.; там же были описаны основные его свойства. Если текущая научная
активность является правильной мерой значения этих двух открытий, то они
представляют собой наиболее значительный прогресс как в теории нелинейных
волн после работ Римана (1826-1866) и Коши
') Статья написана в 1979 г.-Прим. перев.
12
1. Солитон и его история
(1789-1857) о характеристиках, так и в теории уравнений в частных
производных после работы Фурье (1758-1830) по линейным уравнениям. Более
того, возможности, представленные нам методом обратной задачи для
получения точных аналитических решений теперь уже значительного числа
физически интересных нелинейных уравнений, вызвали революцию в самом
подходе к нелинейной физике. Одним из следствий является то, что теперь
тщательно исследуются нелинейные задачи в тех областях, где совсем
недавно только линейные теории были способны выдавать приемлемые
результаты. В первой главе мы описываем те шаги в истории солитонов,
которые прадставляются нам важными либо для математической стороны
предмета, либо для приложения этой математики к физически интересным
проблемам.
Привлекательной чертой теории солитонов является тесная связь физики и
математики. Сама теория, безусловно, развилась из наблюдения физического
явления, в основе которого, как нам теперь известно, лежит односолитонное
решение уравнения КдФ. Это наблюдение сделал в августе 1834 г. Джон Скотт
Расселл; его отчет о нем уже неоднократно цитировался
[1.4]. Мы здесь снова его приводим, потому что он показывает, какое
завораживающее впечатление солитон сразу произвел на Расселла. Сделанное
