Солитоны - Буллафа Р.
Скачать (прямая ссылка):
мероморфными функциями ?2(?), не имеющими особенностей на спектре L, LA.
При этом уравнение
(_*) + 2аа*>(')-0 ^
6.5. Эволюционные уравнения класса I
215
эквивалентно уравнениям
в (5/а) = 20 (5) Й/а, в(6/а)=~ -2Q(?)6/fi,
6^ = 0, вр* = 20(?*)р*, k = \ , _ (6.66)
вЬ = 0, вр* = -20(Ьк)Р*, k =
Для получения последних уравнений достаточно приравнять коэффициенты при
базисных функциях ?_ в разложениях для (бг,-бq)T и (r,q)T. Система (6.66)
тривиально интегрируема.
з
Замечание 1. Пример. Если Q(?) = ? аг?г, 6 = -^-. то уравнения (6.65)
имеют вид г=0
(-*)+Ч0+з-(-;:)+&(
Эти уравнения объединяют одномерное линейное волновое уравнение,
нелинейное уравнение Шрёдингера, модифицированное уравнение Кортевега -
де Фриза. Из соображений устойчивости Й(?) должно быть чисто мнимым при
вещественных ?; в противоположность этому В/а или b/а должны расти
экспоненциально. Этот факт находит свое отражение в (6.67): если a-i
вещественно и положительно, то г удовлетворяет прямому, а q обратному
уравнению теплопроводности.
Замечание 2. Дисперсионные соотношения. Функция й(?) непосредственно
связана с дисперсионными соотношениями соответствующих линейных задач для
г и q. В самом деле, Q(E) = = i/2o)r(2t)=:-i/2<M--2t).
Замечание 3. Законы сохранения. Для всех уравнений, описываемых (6.65),
функции а(?) и а(?) не зависят от времени. Следовательно, коэффициенты
(С")"=1 разложения (6.25) также являются законами сохранения.
Замечание 4. Высшие размерности и псевдопространственные производные. На
конференции в Аризоне в 1976 г. Франческо Калоджеро отметил, что б может
содержать производные по добавочным "пространственным" переменным.
Например, если
у = (г/i уп) и
6 = F(LA)jT + G(LA)-Wy, то эволюционное уравнение имеет вид
F ( _ q ) + G (^) ' ( _ fq ) + 2Q (LA)
( q ) =°- (6-68)
rXx - 2qr2\
qxx - 2<72r /
216
6. Обратное преобразование рассеяния
Эволюция данных рассеяния описывается уравнениями
Отметим, что уравнения (6.69) обладают весьма интересными свойствами. Они
гиперболичны и могут приводить к многозначным решениям за конечное время.
Например, если F - 1 и G - X?, то начальный профиль ^ (г/, 0) (скажем,
треугольной формы) может приводить к многозначным решениям, которые могут
быть интерпретированы как распад солитона. Можно пойти дальше и задаться
вопросом: можно ли, включив вторую
соответствующие двумерным солитонным решениям в (лс, у) -пространстве?
Эти идеи весьма привлекательны не только потому, что они приводят к
физическим следствиям, но и потому, что разложение (6.68) в (6.69) и,
возможно, в (6.70) является весьма естественным обобщением идеи
разделения переменных в линейных задачах.
Замечание 5. Можно включить эффекты линейных градиентов плотности,
заметив, что
F (С) (-f )t + G (С) • Vy (-J-) = 2 Q (?) A; (6.69a)
F (?) (-|-)t + G (S) • Vy (4) = - 2Q (C)-f-; (6.69b)
^ (С*) + о (C*) - Vyc* -0. |-[f(gPft] + Vy-[G(QPft]
=
= - 2Q (?ft) pft, k = 1...........N-, (6.69c)
F (lk) lkt + G (Q ¦ Vylk = 0, -4(7 (lk) p J + Vy • [G (lk) h] =
2Q(S*)P*, k - \, ..., N. (6.69d)
и третью вариации
найти уравнения на собственные
значения вида
С< + + Zyyy =
(6.70)
Это позволяет написать разложение для
6.6. Гамильтонова структура уравнений класса I
217
Например, уравнение
которое при г = -q* является нелинейным уравнением Шрёдингера для
распространения огибающей волнового пакета при наличии градиентов
плотности, приводит к следующему уравнению для эволюции b/а:
Влияние градиента плотности проявляется в том, что пакет в основном
связан с областью х -f- at2 = const. Если пакет движется в область с
увеличивающейся плотностью, а > О, то в конечном итоге это приводит к его
отталкиванию.
6.6. Гамильтонова структура уравнений класса I
Основной целью этого раздела является определение гамильтоновой структуры
для (6.65) и доказательство того, что обратное преобразование рассеяния
является каноническим преобразованием, сохраняющим уравнения Гамильтона.
Сначала будет показано, что второй член в (6.65) может быть записан как
градиент по q и г некоторого функционала - гамильтониана системы.
Оказывается, что все гамильтонианы порождаются единственной функцией In а
(?). Так как эта функция выражается через данные рассеяния, то немедленно
получим выражения для гамильтонианов в переменных действие - угол. С
этими выражениями тесно связаны формулы следов, которые выражают
сохраняющиеся величины через переменные действия.
Рассмотрим функцию
Решая (6.75) при больших |?j, 1т?>0, получим асимптотические разложения
(bja)t + a (b/a)* = Ai'c/b/a.
(6.73)
(6.74)
Легко показать, что
(6.75)
оо
(6.76)
Из (6.32а) при = 0 следует
6 In а = -
_ J 6r^i.)rfx. (6.77)
- оо
213
6. Обратное преобразование рассеяний
Таким образом
grad(7irlna = Oj4, grad<7>r = (6/6^, 6j6rf. (6,78)
Из (6.25) получаем
оо
lnd(S)~- ?-т^тСт+н (6-7й>
ni=0 *
где (Ст}"=1 - последовательность интегралов уравнений. Отсюда и из
уравнений (6.76), (6.78), (6.79)
(LT(J )-2/gradCm+I. (6.80)
