Солитоны - Буллафа Р.
Скачать (прямая ссылка):
ОО
Afs? = E*Ff Ms = -\^-q dyqy. (6.166)
X
Сопряженным к (6.162) является множество
ч"<*. 0-=(#),. т{<*. ') = (!!-),.
(6.167)
Его элементы удовлетворяют уравнениям
X
Л1^РЛ = ?2ЧГ'4 +l(-R), МА = --Q \dy,
-R
(6.168)
где мы вновь рассматриваем предел /?-"-+0о.
*) Так как (дф2/д?) не стремится к нулю при я-"--)-00, то это
множество не может быть базисом для разложения произвольной функции [(х).
6.11. Уравнение Шрёдингера
237
В отличие от разд. 6.4 сопряженное и двойственное множества в этом случае
различны. Более того, интеграл в сопряженном операторе не может
использоваться свободно, так как подынтегральное выражение не содержит
r(x,t) или q(x,t), что гарантировало бы интегрируемость. Тем не менее эти
определения оказываются работоспособными, и читатель может найти много
интересных деталей в доказательстве соотношений ортогональности, которые
приводятся в приложении С.
Используя соотношения ортогональности, можно выписать разложения q(x, t)
и бq{x, t) через эти базисы *):
4 ОО jV
q(x> t) = -J ^Ф4 + 4?|З^Фь (6.169)
- оо k= 1
" N
q(x,t) = ~\l^Wdl~4YjykZk^k, (6.170)
- ОО k = \
4 N
bq{x,l) = ^ \ б (4) Ф^? 4 2/J] (6У*Ф? + У*6^), (6.171)
- оо k- 1
4 оо N
6q(x,t) = -± \ fi(A)'F*dS4 2i? (<W + P*<V2). (6.172)
ft-i
Симплектическая форма также находится из соотношений ортогональности.
Рассмотрим
+ °о . X v
jj А ^ dydqjdx.
- оо \ - до /
Применяя (6.171) для первого члена и интеграл по х от (6.172) для второго
члена, получим (для простоты считая q вещественным)
Too . X . оо
5 (тгб?Л 5 dybq\dx= J - -^J-6 In (1 - |/? f) Л 6 Arg 6(g) 4
- oo \ -oo J 0
N
4 ? 6(-2ril)A61n^. (6.173)
k=\
') Отметим, что выражение для q(x, t) не содержит членов с %k в (6.169)
или т* в (6.170). Множества (6.161) и (6.162) можно использовать в каче-
4" ОО -}- ОО
стве базисов для функций /(*), для которых ^ fvlx- ^ №\х'=(r)' * "*
- оо -оо
1, ..., N. То, что это справедливо для f(x) = q(x, t), следует из (6С.1).
238
6. Обратное преобразование рассеяния
Здесь Р(?,) = Ь/а есть коэффициент отражения. Следовательно, обратное
преобразование рассеяния является каноническим. Оно переводит q(x,t) в
переменные действия (-2(?/л)1п(1 - |Р|2), - 2г)|) и угла (Arg 6(?), In
bk). Отметим простоту предложенного вывода (6.173) в сравнении с выводом
Захарова и Фаддеева [6.66].
Из (6.169) - (6.172) легко могут быть найдены уравнения, интегрируемые
обратным преобразованием рассеяния. Рассмотрим (6.170). Применяя оператор
P0(MS), где Р0 целая функция, получим
+ оо
4гр"(мз)ч-Ь \ у'.от4+Ь'"-4?&л(")т,*з",
- оо
Из сравнения с (6.171) вытекает, что уравнение
<Jt+-^Po(Ms)q = 0 (6.174)
эквивалентно уравнениям для данных рассеяния
(i), = -2'^""2)i-
= ~ (?|) yk,
?" = 0. (6.175)
Для того чтобы определить структуру гамильтониана, необходимо найти
функционал Н, вариация которого по q есть
ЬН =~Po{Ms)q- (6.176)
bq
Тогда из (6.174) следует
дх bq
_ д ЬН ,77.
Цt яг • (6.177)
И вновь центральным звеном оказывается функционал 1па(^). Из вариаций
данных рассеяния следует
6 In я _ 1 Фгфа /А 17Q\
bq 2/? Я ' (Ь. 178)
Имеем
(М5-?2)(^- l)=|. (6.179)
Выпишем разложение для решений (6.179) при больших ?2,
Im I > 0,
6.12. Сингулярная теория возмущений
239
Сопоставляя разложение
1па = -
и формулы (6.178), (6.180), найдем
= (6.181)
Таким образом, если дисперсионное соотношение имеет вид
оо
О (?) = ЯЛ> (S2) = Я I a2m+, (ST. (6-182)
0
то соответствующий гамильтониан есть
Hq = - 4/ ^ (6.183)
Для данных рассеяния имеет место формула
+ оо
'"""Е'ЧтЖ-гй- S (6.184)
- оо
поэтому потенциальные гамильтонианы С^т+х даются выражением
Ct'n+i-z'L 2m+r-W S 62mln(l-|/?|2)rfg. (6-185)
0
Например, если Q(?) = -4i?3, то
+ оо оо
я=| \ ?4Mi-l/?M,
- оо 0
что соответствует уравнению Кортевега - де Фриза.
6.12. Сингулярная теория возмущений
Результаты разд. 6.3, 6.11 позволяют непосредственно рассмотреть влияние
возмущений. Предположим, что исследуемое уравнение является возмущением
одного из интегрируемых потоков (6.65),
(-J+2a(i<)4-VL' <б18б)
или (6.174),
9*+ WP°(Ms) q = е (<7')в°зм- (6'187)
240
6. Обратное преобразование рассеяния
Для вычисления скорости изменения данных рассеяния 5-е (6.21) или 5- или
5+ в (6.185) используются формулы (6.35) -
(6.38) или (6.159) - (6.160). Интегрируемые члены 2й(//)( J
д ^
и PvWs)q допускают точные интегралы в соответствующих случаях, в то время
как в общем случае член, отвечающий возмущению, таких интегралов не
допускает. Например, из (6.160) следует
(6Л88а)
Р" + (-7- + 7-)p's" = ^ +
4 ak l=k/
+00
+ - ) /Та- \ ЫвозмГ^-4) dx, (6.188b) 2,?* Ы -оо V ^ Л
* +°°
{^-)t = ^Po(Z2)~ + iy \ (^)возмФ2dx. (6.188с)
Влияние возмущений на данные рассеяния определяется прямо из решения
(6.188) методом итераций. Обычно интерес представляют возмущения на
временах порядка t = 0(е-1), для которых претерпевают изменения такие
величины, как амплитуда солитона, которые должны в невозмущенной системе
оставаться неизменными. Для этого надо описать медленные изменения под
