Солитоны - Буллафа Р.
Скачать (прямая ссылка):
влиянием возмущений переменных действия и угловых частот (производных
угловых фаз). При решении (6.188) итерациями будем допускать медленные
изменения во времени переменных действия невозмущенной системы. Выбор
такого поведения переменных действия необходим для того, чтобы исключить
секу-лярные члены (пропорциональные et), входящие в асимптотическое
разложение для данных рассеяния. Естественный вопрос, который в связи с
этим возникает: эквивалентна ли эта процедура более непосредственному
итерационному подходу - прямому использованию исходного уравнения?
Конкретнее, пусть дано уравнение
4t + 6 qqx + qxxx = е (<7;)ВОзм-
Разлагая q - qo + е(6?) + •••> получим для возмущения 6<7 уравнение
+ ДД = foo/W (6-189)
6.12. Сингулярная теория возмущений
241
Из (6.160) (напомним, что b = Ь* для вещественных q) следует, что
<6-190>
Аналогичное выражение имеет место для данных рассеяния, отвечающих
дискретному спектру. Обращая (6.190), можно выразить 6q через сопряженный
базис Д71, определенный (6.167), где все величины берутся для
невозмущенного q0(x,t). Мы утверждаем, что в этом базисе левая часть
(6.189) разделяется, и найденные выражения для изменения во времени
совпадают с теми выражениями, которые бы получились после прямой
подстановки -j= в (6.188с). Для того чтобы убедиться
в этом, продифференцируем (6.190) по времени, помня, что невозмущенный
базис ф| зависит от времени. Фактически используется выражение
№), = (2?* - 8/?3) ^ + (4?2 - 2q) (*'), (6.191)
и уравнение (6.166), которое может быть переписано в виде
-1 - ч"), " Р (*!),• <6-192>
Из (6.189), (6.190) и (6.191) находим, что
6 Ш, = -Щ* S {[~W №q>lxx + 6д° ^ + Мвоэм] Ф] +
+ bq [(2q0x - 8/S3) ^ + (Ч2 ~ Щ (^)J } dx =
= - 8/Дб (I) + ^ J (?,)возм Ц dx + R, (6.193)
где остаток R определяется формулой
* = w S {- ' +1 +
+ ^ РадН + (4?! - 2"о) ОН) j} чх.
Интегрируя по частям и учитывая (6.192), получим R = 0.
Прежде чем мы перейдем к конкретным примерам, следует сделать несколько
замечаний. Сначала перечислим преимущества обратного преобразования
рассеяния при исследованиях возмущений.
1) Естественно исследовать механические системы в переменных действия
и угла или "нормальных мод", поскольку в этих переменных первоначально
зацепленная система уравнений разделяется. Обратное преобразование
рассеяния указывает, как произвести разделение и, значит, решить (6.189),
242
6. Обратное преобразование рассеяния
2) Исследуя медленные изменения главного члена аппроксимации переменных
действия на временах порядка е-1, можно использовать законы сохранения.
Это позволяет вычислить скорость медленных изменений угловых переменных.
С точностью до главного члена, возмущение влияет на угловые переменные
посредством медленных изменений переменных действия. Этот подход будет
продемонстрирован тремя приведенными ниже примерами.
3) Возбуждение других нормальных мод под влиянием возмущений можно
вычислить непосредственно. Будет показано, как эти результаты позволяют
понять роль, которую играет "шельф" в возмущении уединенной волны для
уравнения Кортевега- де Фриза.
Рассматриваемый метод обладает следующими недостатками:
1) Его трудно применять в тех случаях, когда невозмущенное состояние
отличается от многосолитонных решений (этот недостаток еще в большей
степени свойствен прямому методу).
2) Вычисление эффектов второго порядка и исследование поведения системы
на временах, больших е-1, затруднительно. Это связано с тем, что в
пределе, когда /->- + оо при фиксированном et, зависимость собственных
функций и данных рассеяния от ? неравномерна. Например, для чисто
многосолитонного состояния коэффициент отражения R(t,) для оператора
Шрёдингера тождественно равен нулю. При включении возмущения сразу же
имеем R (0) = -1.
3) Трудно проследить за возникновением солитонов. Более подробные
комментарии будут сделаны при обсуждении поведения шельфа уравнения
Кортевега - де Фриза на длинных временах t е-1.
Прямой метод теории возмущения также имеет ряд серьезных недостатков.
1) В общем случае уравнение (6.189) не разделяется. Обычно, но не всегда,
q0 должна быть функцией некоторой определенной комбииаци-и независимых
переменных х и t. В тех случаях, когда это не так (например, при
исследовании стабильности бризера, обсуждаемой ниже, где q0 периодична по
t), прямой метод требует усреднения по периоду переменной, отвечающей
быстрому времени. Этот шаг не всегда оправдан (например, когда частота
бризера порядка е).
2) Прямой метод требует принятия анзаца (предварительного предположения)
о форме старшего члена аппроксимации. Например, в исследованиях
возмущений солитона уравнения Кортевега - де Фриза в ранних работах
[6.67] - [6.71] принималось, что движение адиабатично, и браласЬ форма
медленно меняющейся уединенной волны. Это неверно, и, как будет показано
ниже, в главном члене решение должно содержать и
6.12. Сингулярная теория возмущений
243
неадиабатическую часть (шельф). В действительности окрытие шельфа и
