Солитоны - Буллафа Р.
Скачать (прямая ссылка):
а (0, 0 а (0, 0) е •
Следовательно, 6*(0, t)/a(0, t) стремится к нулю на расстояниях порядка
р, т. е. порядка толщины слоя неоднородного уширения. Для вещественных Е,
когда 6*(0, t) = 6 (0, t), можно показать, что Ь*/а есть tg Л (/) /2, где
Л(?) - площадь (отрицательная)
+ оо
электрического импульса - ^ Е(х, t)dx. (Это легко увидеть,
- ОО
так как при ? = 0, если Е/2 = q = -г - -их/2, ф1 = cos и/2, Фг == sinu/2,
то 6*(0, t)/a(0, t) - 6(0, t)/a(0, t)- tgu/2 (+ °°),
4 oo
где u(x)= - ^ Edx.) Уравнение (6.113) показывает, что пло-
- ио
+ оо
Щадь ^ Edx стремится к кратному 2я на расстояниях порядка
- оо
р. Если р < о (или ReM(0)c0), что соответствует системам,
226
6. Обратное преобразование рассеяния
находящимся первоначально в возбужденном состоянии, площадь стремится к
нечетному кратному я. Можно получить обобщения этой теоремы на более
высокие нелинейные моменты.
Объединяя эти два замечания, можно представить структуру общего решения.
Из рис. 6.1 и предположения (5 < 1 видно, что импульс, возникший при X =
О и 7 = 0, в первый момент так меняет свою форму, что его площадь
становится кратной 2я. Это не означает, что радиационная составляющая
рассеивается, а просто то, что общая площадь солитона и радиационного
поля равна 2пп. Следующий факт заключается в том, что импульс распадается
на 2я- и Ол-импульсы (если Е вещественно) и радиационная энергия
поглощается на бееровской длине 1/р. На расстояниях, больших Х=/~1/р,
радиационная составляющая полностью поглощена, а 2л- и Ол-импульсы
продолжают распространяться когерентно, без потерь.
Замечание 3. Предельное уравнение sine-Gordon. Если р стремится к нулю,
дисперсионные соотношения М и М стремятся к - г'/4?, a g(ri) к 6(т]) т.
е. к дельта-функции Дирака. Формально к(ц = 0) = 2<pitpi |i,=o = sin и,
и; так как ? =-и*, то уравнение Максвелла (6.108) превращается в
уравнение
uxt ~ - sin и. (6.114)
Это уравнение sine-Gordon в форме Гурса; данные заданы при 1 = 0ил = -оо.
При р -> 0 из (6.113) следует, что 6(0)->0 для любого t > 0. Значит,
форма импульса изменяется мгновенно. Тем самым для уравнения sine-Gordon
в форме уравнения типа Гурса допустимые начальные данные являются лишь
подклассом начальных данных, допустимых для задачи о распространении
когерентного импульса. Необходимым условием, выделяющим этот подкласс,
является 6(0, 0) = 0 (или н(± оо, 0) = 2пл). Достаточные условия Г6.65]
на начальные данные, гарантирующие интегрируемость (6.114) с помощью
метода обратного преобразования рассеяния, имеют вид Ь (?, 0) = 0(Е;1/2)
при ?->0. Видно, что начальные данные могут содержать радиационную
составляющую, но она должна быть ассоциирована с волновыми векторами,
отличными от г] = 0. Кроме того, в пределе sine-Gordon радиация не
убывает (в системе отсутствует поглощение), а диспергирует и
распространяется вместе с солитонами.
В заключение заметим, что если М = М - -1/4(1;-•?), ? вещественное, то
для корректной постановки задачи Гурса условия 6 (у - Ь(?) - 0
необходимы.
Замечание 4. Операторная точка зрения. Флашка и Ньюэлл [6.63] показали,
что уравнения типа Лакса Lt = [В, L] преобразуются обратным
преобразованием рассеяния к уравнению
S,=T+S-.S7_, (6.115)
6.9. Движущиеся собственные значения
227
описывающему эволюцию матрицы рассеяния §. Так как формализм Лакса
требует самосопряженности оператора L И кососимметричности оператора В,
положим г = +q* или а = +1, что влечет за собой самосопряженность (6.16).
Используя (6.95) для вычисления эволюции во времени Ь*/а и других данных,
найдем
$ =
i/\+bb*\ >•
а а 4 \ /
b J_ ¦и + f-ч Я- L i / 1 + ЬЬ*\
а а 4\ СП И
т_ =
-к
1 +ьь* Сп
¦ gb
> -jb't
L(i + bb*
Сп
+ оо
где (/) = Р ^ g (п) / (п) dx\. Если Т+ = Г_ = Т, то (6.115) имеет
- оо
вид St = [Г, S], и, следовательно, существует такой унитарный оператор U,
что Ut = TU и S(t)U = US(0). Следовательно, для многих величин (например,
для detS) нетрудно показать их сохраняемость. В общем случае Т+ Ф Т-, и
единственной сохраняющейся величиной является спектр. Это явление связано
с тем, что g(l)^=0. Если g(n)= 0 или #(?)= 6(?) (в последнем случае,
поскольку М = М = -i/4% имеет полюс в точке Е; = 0, Необходимо положить
6(0) = 0), то
Т = Т+ = Т_-
-Ж 0
о
I .
4С
В этом пределе система (6.108), (6.109) сводится к уравнению Sh-Gordon
uxt = - sh и, [Е(x, t) = - их].
6.9. Движущиеся собственные значения
Общей чертой всех рассмотренных выше классов эволюционных уравнений
является инвариантность дискретных собственных значений. Тем не менее в
общей теории нет ничего, чтобы запрещало их движение. В самом деле, ясно,
что практически каждое операторное уравнение вида
С)-°
(6.116)
228
6. Обратное преобразование рассеяния
посредством обратного преобразования рассеяния сводится к эквивалентной
механической системе в пространстве данных рассеяния. В этих системах все
нормальные моды сильно связаны, и собственные значения эволюционируют.
Из-за сильной связи нормальных мод каноническое преобразование к данным
