Солитоны - Буллафа Р.
Скачать (прямая ссылка):
допускающая разложение Винера Хопфа
в("|) = "[М(т|) - М(т])], (6.101)
где М и М аналитические при lmri>0 (1ттк0). Например,
для данной аналитической в окрестности lmii = 0 функции ?(и)
можно записать
М(л)=-т Л1(л) = -т S (6-Ю2)
си СА
Контуры Си и СА проведены вдоль вещественной оси над и под полюсом в
точке а - и соответственно. Частным, но полезным выбором g(t]) является
лоренцево уширение
*<ч> = 1П^"Я(-Н^-(-7)тгтж1 <6103>
Используя (6.99), получим
- оо С -оо
С -°°
= --l$M(6)-|-4*d6--|-$ (6.104)
с с
Здесь при интегрировании по контуру в верхней (нижней) полуплоскости
подставлены соответствующие выражения, содержащие М(М). Напомним, что в
первом члене интегрирование ведется при Im г) :^г 0, а во втором при Im и
sg: 0.
Выражение (6.104) совпадает с (6.97), если положить
mk = M{tk), т* = М(Ьк), Z* = Zft = 0. (6.105)
6.8. Распространение когерентного импульса
223
Таким образом, система состоит из уравнения
+<*>
^ g On) (*> л) dr] (6.106)
- оо
и уравнения, связывающего Ф71 с потенциалами гад,
{ЬА - л) Ч/Л = Y ( ^ ) • (6Л07)
Эта система обратным преобразованием рассеяния сводится к
тривиально интегрируемой системе (6.96). Заметим, что так как Б
ассоциировано с г, а b ассоциировано с q, то М (?) отвечает
за эволюцию q, а М (?) за эволюцию г.
6.8. Распространение когерентного импульса
Для того чтобы проиллюстрировать возможности метода обратного
преобразования рассеяния на конкретных примерах, рассмотрим следующее
важное его приложение. Подробности явления, которое вкратце будет здесь
описано, можно найти в [6.29], [6.30]. Пусть г = aq*, а вещественное, q =
Е/2, 2ф!ф1 *= Я, N = ф1ф2 + ф1ф2. Тогда 2ф2ф2 = аЯ*, и (6.106)
превращается в уравнение
+ зо
?<= 5 ^ (Л) ^ (л:, Л) (6.108)
- ОО
которое является усредненным уравнением Максвелла, описывающим изменения
огибающей электрического поля Е (х, t) при прохождении через
резонирующую, с неоднородным уширением (за счет доплеровского эффекта),
невырожденную среду двухуровневых атомов. Разность уровней энергии
предполагается близкой (с точностью до ширины g(ri)) к частоте несущей
волны с огибающей Е. Здесь t является расстоянием X вдоль среды, а х есть
Т - X. Величины %(х, t, 14) и N(x,t,r\) удовлетворяют уравнениям
lx + 2ir\X = EN, Nx = ±(EX* + Е,К). (6.109)
Для случая а = -1 это хорошо известные уравнения Блоха
[6.30], описывающие влияние огибающей электрического поля на поляризацию
и плотность заселения уровней N(x,t,r\). Фактически N = (т]? - Ло)/(Ля +
11g), где ri? - число атомов в возбужденном, a t|g в основном состоянии.
При х-*~-оо граничные условия % = 0 и N - -I означают просто, что до
прихода импульса среда находится в основном состоянии.
Динамика системы показана на рис. 6.1. Начальный импульс распадается на
солитоны, которые соответствуют дискретным
U'>
224
6. Обратное преобразование рассеяния
Л(Х-,°°,2)~2аЯ*е ----->OrtpuX-> 00
N(X,°°,4) = -jtee*--fti puX-*-°° -> 00
Г-Х'-^О
2rf, OjT импульсы
Область подобия
F{0,T)s О, Тс О => Е(Х,Т) = О, Г<Х
X=t
Рис. 6.1. X-Г-диаграмма распространения импульса ?(0, Г), приходящего в
точку X - 0 в момент времени Г = 0.
собственным значениям ? = "1 (2я-импульсы) и парам собственных значений
?, -?* (Оя-импульсам). Радиационная составляющая определяется отношением
&*(?, 0)/а(?, 0). Эти величины могут быть просто найдены из (6.16) при -
r* = q = E/2, где Е(х, 0) [= ?(0, Г)] задано. Солитоны распространяются
сквозь среду без потерь, когерентно, тогда как излучение в конце концов
полностью поглощается в соответствии с законом Беера. Система обладает
некоторыми чрезвычайно интересными свойствами, часть из которых следует
описать более детально. Замечания 1, 2 и 3 относятся к случаю а - -1, а
замечание 4 к случаю а = +1.
Замечание 1. В системе нет других сохраняющихся величин, кроме
собственных значений. Действительно, анализ эволюции во времени функции
In а(?, t) показывает, что
+оо
|-1па(?, 0 = 4 J g{r\)~~dr\, Im? > 0. (6.110)
6.8. Распространение коёерентноео импульса
22!>
В частности, используя (6.25), получим
+ оо +оо
- J *<л><* + 1>"+_*|.
или
+оо + оо
J EE*dx - - 4 J g(vi)bb*di\, так как jV |+00 = - 1+266*.
- ОО - оо
(6.111)
Последнее выражение в общем случае отлично от нуля. Этот результат можно
вывести непосредственно из (6.108), (6.109). Потеря энергии связана с ее
поглощением (радиационной части) средой. Поглощение происходит вследствие
перемешивания фаз и определяется гладкой ненулевой функцией g(r\) = =
(2/л)(Л?-
Это показывает, что различие в дисперсионных соотношениях приводит к
весьма реальному эффекту.
Замечание 2. Обобщенная теорема площадей Мак-Колла - Хана. Если в
качестве g(ii) дано лоренцево уширение Р/[л(т12 + р2)], то, интегрируя
(6.95), получим
&*(?, 0 _ "*№, 0) смГ-ГС.+ ЯЧ (6112) я (С, о я (С, 0) eXpL 2(S' + P4) J-
.
Для ? ^ Р коэффициент отражения убывает и энергия рассеивается в среде на
расстояниях порядка 1 /р (закон Беера). С другой стороны, при ? = О
ь\[о, d (о, 0) mR (6 ИЗ,
