Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Буллафа Р. -> "Солитоны" -> 99

Солитоны - Буллафа Р.

Буллафа Р., Кодри Ф. Солитоны — М.: Мир, 1983. — 408 c.
Скачать (прямая ссылка): solitoni1983.pdf
Предыдущая << 1 .. 93 94 95 96 97 98 < 99 > 100 101 102 103 104 105 .. 156 >> Следующая

уУ">0. (6.241)
Для (6.11) имеем у < О, 1Д, = 4г) > 0.
В заключение мы приведем новые результаты. Одномерный бризер или Оя-
импульс
и (х, t) = 4 arctg (г)/? sech 20 sin 2а), (6.242)
являющийся решением уравнения sine-Gordon
Utt - uxx - Kuyy-\-smu - §, (6.243)
неустойчив. В (6.242) имеем
в.-тЧ1 +-щг). •'•"тО "ТЙ+ г = 5 + <'Л, (6.244а)
"'=т(1+ТйД (6'244Ь>
Эти уравнения для постоянных | и т] приводят к
9= *-~-L + §0, о =---1=4== + до, о = 1 ~ 4^' ¦
2VK* Vi-v2 2 VES* Vi-о*. 1 + 4SS*
(6.245)
Воспользуемся точными соотношениями
+ оо + оо
dl.
-^- = К J uyyutdx, = К \ иууихйх, (6.246)
где
+ 00
jj j(u2t+ u2x + 4 sin2"/2)?/x = 16ti(l + -^§-). - 00
+ оо
h = ^ Uxtlt dX = 16Т1 (1 _ T ^*) '
Рассмотрим одномерное решение щ, даваемое (6.242) при ? = ?о + гЧ и
?о^о=1/4 (стационарный бризер), 90< = 0, ош = = go. Полагая т) = т]0 +
(y,t), l = lo + h(y,t), 9 = 90(х, 0 +
+ 0i (x,y,t), о = а0(хД)+ аДх, y,t) и вычисляя правые части
(6.246) для и - "о, получим
а2 К
(SoHi - noSi)^ = "2^ (cos2 2а0) (6.247)
(Soli + Wi)* =^2^-01^(8'п22ао)/2, (6.248)
6.12. Сингулярная теория возмущений
255
где a = r|0/so, D = y2 + 2(1 + 2a2 sin2 2ст0) у + 1,
OO
% = 1 + 2a2 sin22a0, ^2-^ {^ - yfdy/D2.
0
Здесь мы пренебрегли в 0i членами, пропорциональными х (корректность
этого может быть обоснованна).
Из (6.244Ь)
01/ = - 4т10 (r|0ri1 ?o?i)> (6.249)
= - 4ri0 (g0Ti! - iiTio). (6.250)
Из (6.245), (6.250) можно увидеть, что изменения фазы 0 и момента
Uotl+TKPll) являются простыми осцилляциями. С другой
стороны, из (6.247), (6.251) вытекает, что
- 2 (a?)2(cos2 2а0)/1ст1, (6.251)
где К = 1 и Ci = o(t)exp(iky). Так как /1 положительно, то изменения фазы
cti и энергии растут со временем. Интерес представляют два предельных
случая. Во-первых, если положить а малым, /1 = 1, то уравнение sine-
Gordon может быть аппроксимировано нелинейным уравнением Шрёдингера. Для
этого представим и = ехр(-//)ф(х, /) + (*). Средняя (за период а0)
скорость роста, полученная согласно (6.252), совпадает в точности с той,
которая дается (6.233) при у - 1 и Й = -2/?2. С другой стороны, при
больших а величина Оо слабо меняется как функция t (2ст0 приблизительно
равно t/a). В этом случае, используя ВКБ-приближение, можно показать
hk cos (t/u)- ехР ln [a sin -гг +
+ (l + a2sin24)'/2]- (6-252)
Когда a велико, |0 является малым (напомним, что ?2-f-ri2 = = 1/4),
поэтому бризер представляет собой пару кинка и анти-кинка. Действительно,
при а->-оо уравнение (6.242) дает
и (х, t) - 4 arctg t sech лг, (6.253)
что соответствует паре кинк - антикинк, элементы которой разделяются с
логарифмической скоростью. Результаты, полностью согласующиеся с
изложенными выше, были получены Также в [6.91] прямыми методами теории
возмущений вплоть До значений а порядка единицы.
256
6. Обратное преобразование рассеяния
6.13. Заключение
В этой статье мы хотели подчеркнуть тесную взаимосвязь между методом
обратного преобразования рассеяния, идеями фурье-анализа и идеями
гамильтоновой механики. Теперь должно быть ясно, что именно квадраты
собственных функций для задач (6.16), (6.155), а не сами собственные
функции играют центральную роль в рассматриваемой теории и образуют
подходящий базис для различных разложений. Даже в линейном пределе
(замечание 2, разд. 6.4) этот базис сводится к (ехр (±t^A:) )2. В задачах
с сингулярными дисперсионными соотношениями (разд. 6.5, 6.7-6.9)
квадратичные произведения и квадраты собственных функций явно входят в
уравнения в частных производных как зависимые переменные и,
следовательно, могут иметь непосредственную физическую интерпретацию.
Центральная роль квадратов собственных функций стала ясной нам еще в ходе
первой попытки [6.23] построить возможно более широкий класс
интегрируемых систем, связанных с задачей на собственные значения (6.16).
В той работе вводилась дополнительно временная зависимость собственных
функций vi и V2 задачи (6.16) вида
vlt = A(x, t, t)vl + В(х, t, t)v2,
v2t = C(x, t, ?)t>, - A(x, t, ?)v2. '2 ^
Для А, В, С были получены уравнения
Ax^=qC-rB, Bx + 2%B=qt-2qA, CX - 2%C ^rt + 2Ar.
(6.255)
Они следуют из приравнивания коэффициентов при щ и и2 в выражениях для
виt, vitx и v2xt, v2tx, которые получаются после перекрестного
дифференцирования уравнений (6.16), (6.219).
Связь с квадратами собственных функций можно увидеть, если заметить, что
решения однородных (Л, В, С) уравнений (6.255) являются квадратичными
произведениями v\, v2. Следовательно, таким способом можно найти общие
выражения для vu и v2t. Если интересоваться более общими полиномиальными
решениями, то удобнее следовать разд. 6.3.
Хотя подход, намеченный в [6.23], а также в предыдущем абзаце, не дает
столь полной картины, как теория, развитая в настоящей работе, он
обладает тем преимуществом, что позволяет найти некоторые из
интегрируемых уравнений в частных производных даже без знания деталей
прямой задачи рассеяния. Например, можно искать полиномиальные решения
Предыдущая << 1 .. 93 94 95 96 97 98 < 99 > 100 101 102 103 104 105 .. 156 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed