Солитоны - Буллафа Р.
Скачать (прямая ссылка):
q(x, /) = 2r)2 sech2 г) (x - x), ri/ = 0, x<=4r)2. (6.208)
246
6. Обратное преобразование рассеяния
Опишем изменения (6.208) в области, где глубина уже непостоянна.
Используя (6.207) и (6.198), получим
Т1, = -|ГТ1 (6.209)
и с точностью до главных членов
х, = 4т)2. (6.210)
Оба уравнения могут быть легко проинтегрированы. Они дают вариацию
амплитуды и положения солитона с глубиной. Наиболее интересно
отметить, что (6.209) удовлетворяет только
второму из трех локальных соотношений для массы, энергии и
положения центра тяжести:
-f оо -foo
jj qdx = - Г jj qdx, (6.211а)
- оо -оо
-f ОО +00
J q2 dx = - 2Г J q2 dx, (6.2116)
- oo -oo
-foo -foo -foo
^ xqdx=3 q2dx - Y ^ xq dx. (6.211c)
Интегрируя каждое из соотношений, получим глобальные соотношения
+ оо г +оо -1
М (t) - jj q dx = М (t0) ехр - jj T(s)ds , (6.212а)
- ОО *- -оо -I
+ 00 Г -foo -1
?(/) = jj q2 dx = Е (/о)ехр - 2 jj T(s)ds , (6.212b)
- ОО ^ -оо J
-foo
G (I) - ^ xq dx =
- СО
- |с(/0) + 3?(/0) jj ds j^exp^- jj Г (г) dr^ | ехр ^ - jj Г (s)dsj .
(6.212с)
Если q(х, t) состоит только из солитонной части, то
-f оо -f оо
д
ж
J q dx = 4к] = - J- Г J qdx.
Следовательно, если глубина уменьшается, то увеличение солитона поглощает
лишь две трети дополнительной массы, воз-
6.12. Сингулярная теория возмущений
247
никающей на единице длины из-за уменьшения глубины. Куда уходит
оставшаяся масса воды?
Чтобы это понять, надо учесть, что под влиянием возмущения индивидуальные
моды, разделенные в интегрируемых системах, зацепляются. Возмущение может
возбуждать нормальные моды, так что они будут играть основную роль на
больших временах. Вычисляя коэффициент отражения b/а из (6.188) при Р0 =
-4?2 и b/а (^, ^ = 0) = 0, используя (6.207с) и то, что с точностью до
первого порядка а = (Z, - щ) /(? -f- гг]), найдем
" MS. 0 _ 2Tni o;t" ^ ехр (- 8/iTi20 - ехр (8"13<)
* a&,t) ~ За sech (?л/т|) Р' ZIS*0' 8г (I2 + П2)
(6.213)
С точностью до членов первого порядка здесь х - Axft -f- xQ. Заметим, что
коэффициент отражения имеет сингулярность типа 1/| при ?-"-0, тогда как
\Ъ/а (аналог обычного фурье-образа; см. (6.170)) растет линейно по t при
?->-0. Как нужно интерпретировать соотношение (6.213)? В том виде, в
каком оно записано, не существует предела для быстрого времени при 7-"--
foo. Ответ можно найти, если рассмотреть поведение системы в физическом
пространстве и оценить вклад в q(x, i) от непрерывного спектра,
возбуждаемого солитоном. Обозначим этот вклад через qc(x, t). Из (6.170)
следует
qc(x, t) = iL X --------------------------^-----^rVx
3 J a (t) sh &л1ч) \ T\-il 1 + e /
- OO
X exp 2<| (x - ц) (~ 88|^ ; (tm) (8CT . (6.214)
где 0 = -ri(x - x). Из леммы Римана - Лебега вытекает, что необращающийся
в нуль вклад в (6.214) дает лишь окрестность точки 1 = 0, поэтому можно
написать
+ оо - оо
- sin26(*~*0 + 46i°]rf(2g). (6.215)
Первый интеграл есть nsgn(x- xQ - Arft). Второй является интегралом
функции Эйри и равен л для х ;> х0 и -л для х <С х0. Переход между этими
величинами осуществляется серией убывающих осцилляций. Следовательно, qc
- 0 вне области х0 <С <Сх<Сх, где х - положение солитона и х0
соответствует точке, в которой глубина начинает изменяться. В области х0
< х <С х,
* - *о < е-1
<7с (х, t) = - Г/Зт], Xq < х < X, (6.216)
248
6. Обратное преобразование рассеяния
что представляет собой шельф слабо меняющейся амплитуды Г, отражающей
топографию дна. В этом шельфе и содержится излишняя масса воды, о которой
шла речь выше. Можно найти скорость, с которой поглощается вода шельфом:
+ оо X
jj qcdx = -~-^qcdx = xt- qc = - ^ТАг\. (6.217)
-оо Х0
Вместе со скоростью поглощения добавочной воды солитоном это выражение
дает общую скорость возникновения дополнительной массы. Указанные
результаты приведены в [6.73], [6.76] и [6.84].
При описании движений на временах и расстояниях порядка е-1 следует
учитывать эволюцию шельфа с момента его первоначального формирования. Это
может быть сделано непосредственно из (6.206). Задача сравнительно
проста, поскольку шельф мал и его эволюция медленная. Она описывается
соотношением qt - -Tq. В момент ?, когда солитон находится i
в х (0= ^ 4т|2dt, qc{x,t), высота шельфа в точке х, дается (см. [6.83],
[6.84], [6.93]) формулой
<(*)
qc(x, t) - -- Г/Зт|(?) ехр ^ T(s)ds, 0<х<х,
' (6.218) qc(x, () = 0 в остальной области,
причем t(x) находится интегрированием уравнения xt = 4т)2. Теперь можно
показать, что локальные и глобальные законы сохранения выполняются точно.
Действительно,
+ °о х Г * *1
м (0 = 5 q* dx Sqc dx = 4llo exP - J 5 Г ds +
-со о L (o J
+ 4л0|^ехр^- T(s)ds^j - exp^- -| Г (s)dsj j=.
= 4ri0 exp J^- ^ Г (s) ds j, (6.219)
что в точности совпадает с (6.212а). Равенство (6.212с) выполняется с
точностью до второго порядка по Г.
Приведенные результаты показывают, что шельф играет центральную роль в
описании поведения системы; его необходимо
6.12. Сингулярная теория возмущений
249
учитывать уже в старших членах. Хотя амплитуда шельфа порядка е, но масса
