Солитоны - Буллафа Р.
Скачать (прямая ссылка):
рассеяния не всегда оказывается непосредственно полезным. Ниже будет
описано (этот материал содержится также в [6.59]) множество таких
операторов Q, что соответствующие собственные значения движутся, но
уравнения в пространстве данных рассеяния по-прежнему разделимы.
Желательно, чтобы оператор Q действовал на каждую ^-ком-
то в качестве такого оператора можно выбрать оператор (LA- ?*)-1.
Согласно определению (6.98), для Ж4^, т|) имеем
Из (6.99) при т| = ?* непосредственно вытекает, что в выражение для
входит как 'Ff*. ?*), так и д/д??л(х, ?*) = х*. Для того чтобы убедиться
в этом, достаточно записать интеграл вдоль контура С как сумму интеграла
вдоль вещественной оси и вклада от полюсов. Вычет при ? = ?* содержит оба
приведенных члена, поскольку а(?) (?- ?*) имеет двойной полюс при
поненту разложения
кроме того, его действие
(6.117)
В этом случае в разложении
членов компенси-
руется коэффициентом Z,kt при х* в разложении скольку
(6.118)
Напомним, что 4м (дс, т|) определено для вещественных т| или для
дискретных собственных значений. Значит,
С = ?*•
Из сделанных замечаний вытекает, что уравнение
6.9. Движущиеся собственные значения
229
отвечает следующему потоку на пространстве данных рассеяния:
Во-первых, заметим, что эволюция величины р/, характеризующей положение
солитона, может быть записана в виде
Это означает, что эволюция Р/ (Р/) зависит лишь от Q/ (?2/) и от ?/(/)
(?/(/)). Более того, весь поток (6.122) допускает простую интерпретацию.
1! Рассмотрим зависимость от времени функции а(?, /). Для простоты
предположим, что г = -q*, ?^ = - ?2*, lk = Z\ (при всех k). Тогда из
(6.32) следует
Это означает, что член (? - ^ (0))/(? - ?}(0)) в выражении (6.86) для а
(?, 0)
Должен быть заменен на (? - ^(Oj/CC - ?/(0)- Можно также показать, что
<Э&(Е;, t)/dt = 0 и даже что ,Ь/,
константа. Отсюда вытекает, что единственные элементы данных
Р*. t - 2М (?ft) P/j, pftf - - 2M (^*) Р*, = lk. t - 0 при k Ф j,
7
здесь
¦^T P IS/ (О, П 01
2Q,
7-^'t №,((), t],
<Oj t/
где
d_
dt
PK/(0. t] = -ST P К/ (0, 0 - С/. # (||-)c • ' (6.123)
fl(S. *> = <*(?, o)
• Q)izMLLzM?l " U-Z,(0) ?-S)(0
(6.124)
230
б. Обратное преобразование рассеяния
рассеяния, которые изменяются, суть ^ и Их эволюция определяется
коэффициентами эволюционных уравнений (6.121).
Из (6.32) в силу равенств срА = &АфА и bkb'k = 1 следует, что (6.121)
может быть записано в виде
(-J
:gradflt ГН, (6.126)
\. 4t /
где
H = 4iQl\nb,+4iQ)\nb(6.127)
В этом выражении 6/ и Ь] понимаются как функционалы от г и q, вариации а
которых относительно этих переменных даются (6.32).
Из сказанного следует, что все данные рассеяния 22/?*, k Ф /, In b\y
я_11паа*, 1п6(?), которые играют роль пере-
менных действие - угол, оказываются интегралами движения. Переменные
действие - угол (2i?jt In bу) и (2In ft*), связанные с собственными
значениями ^ и ^, меняются ролями. Роль переменных действия играют
величины In bj (In а величины 2(2i'?j) есть угловые переменные, эволюция
которых определяется урдЩениями
-|-2/S/=-^- = 4/Q JL2iVl = -?Lr==4iQ'l. (6.128)
dt 1 й In bj 1 dt 1 6 In bj 1
Вновь подчеркнем, что эволюция данных Е+ или Е_ полностью определяется
зависимостью от ^ (0 или (/).
Например, если г = - q*, q вещественно и
I Г "I, (О щ, W 1
то соответствующее эволюционное уравнение имеет вид
rxxt + (2rRt)x - 4v\2 (t) rt - 4f)tr" (6.130)
X
/?= ^ r2dy.
- OO
Если одно из собственных значений, связанных с г(х, 0), соответствует г|
(0), то последующее поведение ассоциированного солитона определяется
формулой
r(jc,0 = 2fi(0sech[2ri(/)x + 1п(-|||-)]. (6.131)
Вопросы, связанные С неединственностью солитона, обсуждают-
6.10. Уравнение sine-Gordon
231
Объединяя общие черты разд. 6.5, 6.7-6.9, можно записать общую форму
эволюционных уравнений, интегрируемых обратным преобразованием рассеяния
(для которого задачей на собственные значения является (6.16)), следующим
образом:
+ ОО
( ) + 2Q (LA) ( ^ = S $(л)Ч^(*. л)*1 +
N N _
+ ? е,) + ?*,Фд(*, I,)- (6.132)
i-i I-1
6Л0. Уравнение sine-Gordon
Если с самого начала налагается ограничение г - -q, то вариации по г и q
уже не являются независимыми. Поэтому формулировка гамильтонова
формализма должна быть изменена. Предположим, что г и q вещественны. В
этом случае имеют место следующие соотношения-
q>(&) = S<p'(S*)-=Sq>(-5), Ф(0 = 5Ф'(Г) = 5Ф(-?),
'S=s(-1 J)- = а (" = а* (?•)=<*(-5).
?а ^ - "(?)!{*= а(?)1;4*
Ра ~ Ра, Ya = Ya- (6.133)
. Выражения (6.57), (6.58) при этом дают
+ оо
= S Чт) +' <0*'+ 2' Z О* A" + Ya "л"), (6.134)
- оо
+ оо
Ъ = S + (6.135)
-оо
где
¦•"о-<й-<й. *г-0й-*р?. ";-¦
¦*(О=+; + *)> *1 "ОЙ + +!)*•
Функция ф~(?) удовлетворяет уравнению
(+оо .
+ rfwjt"(S) = S4-(S)- (6.137)
Имеет место равенство
ф+(?) = 2;?ф-(?) (6.138)
232
6. Обратное преобразование рассеяния
Двойственные разложения (6.55), (6,56) сводятся к
+ оо
= i S *^_(9ds-2"'?№^ + Mte)- (6Л39)
- оо
+ °° -
4°=-ii 5 ^+^^+2г'Е^- (6Л40)
- оо
Здесь
