Солитоны - Буллафа Р.
Скачать (прямая ссылка):
t"
Если О (?) = Е amlm, то
m-0
оо
"4" Yj amgradCm+I,
m-0
и гамильтониан имеет вид
оо
Яа = -4г Е amCm+1. (6.81)
m=0
Введем теперь скобки Пуассона. Пусть I(q,r) есть функционал
+оо
от q и г и их производных (например, ^ (qxrхq2r2) dx). Тогда
- оо
4Ы (¦?*+?',)*-!(тт-ЮЛ (682>
- оо -оо
Последнее выражение и определим как скобку Пуассона {Я, /} для величин Я
и /. Заметим, что если / есть интеграл движения, то {Я, /} = 0; тогда
говорят, что величины Я и / находятся
в инволюции. Каждый член последовательности {Ст}"=1 по-
рождает в качестве гамильтониана потоки, для которых все остальные
потенциальные гамильтонианы сохраняются. Следовательно, {С ГПу Ся} 0.
Значит, все функционалы {Ст}"=1 находятся в инволюции.
Сама функция lna(?) при любом фиксированном ? (? не принадлежит спектру)
может порождать в качестве гамильтониана поток
(_?)"<ф% <6-83>
и: -
6.6. Гамильтонова структура уравнений класса 1
219
который вместе с (6.75) образует замкнутую систему уравнений. Эта система
может быть записана в виде
(М4)
Она соответствует дисперсионному соотношению
Q (5) = -L-i_. (6.85)
4
Можно также показать [6.63], что
(lna(?i), 1па(?2)}=0.
Таким образом, спектральная функция 1па(?;) играет центральную роль в
наших построениях. За дальнейшими подробностями о значении этой функции в
операторной теории отошлем читателя в [6.63]. Для получения формул следов
найдем выражения функции 1па(?;) через данные рассеяния. Согласно (6.23),
можно получить (здесь полагаем г = - q*, а (?) = а* (?*), *(?)=**(?*).
bk=b\, с*=с;, N=N)
v-" С - * "f°° *п аа*
1ааИ-Е'"ТПГ + ^ $ т=г*
- оо
+00
С ~ С* ¦ 1 С 1п аа*
- с-t* 2я/1
V 1 (v w-tk L I L, m
m=1 4=1
i \
^ -ШГ S r_1lnaa'dH. (6.86)
_oo '
Следовательно, из (6.79)
N Щ *"* +oo
S i-,|n ¦"•<*!. (6.87)
Л*="1 -oo
и мы нашли выражения для гамильтониана через переменные действия (л-1
lnaa\ 2/?ft, 2г'^), которым отвечают угловые переменные Inb(l), In bk, In
b\. Заметим, что если Q(?) = amt,m, то
220
6. Обратное преобразование рассеяния
Так как уравнения Гамильтона при канонических преобразованиях
сохраняются, то
d In bk бН
^=б(2%=-ад=-2й(^).
(6.89)
d\nbb ЬНт
= -г"., = 2 amtlm = 2?2 (?),
dt б (2/^) т k К kJ
d In Ь (I) ЬНт
dt б(я-Чпаа*)
2ятГ = -2Й(5),
Например, пусть ?2 = -2i%2 и r = -q*. Уравнения (6.81) сводятся в этом
случае к нелинейному уравнению Шрёдингера qt - i (qxx + 2q2q*) = 0 с
гамильтонианом
H = $ ОС + ?V2) dx^-sj] ^ S S2 In aa* С
- oo &= 1 - oo
Замечание 1. Линейный предел. Предположим, что q и г малы. Тогда, как
показано в [6.63], в системе отсутствуют связанные состояния, и
+°° I
1 с ят~1
Ст = -- \ q- т г г dx. (6.90)
т (21) J 4 дхт~' V '
- ОО
В этом случае (6.87) (причем г не обязательно равно -q*) переходит в
+°о +0О
J Г А<п - 1
<2,г S q-k^'dx=i; $ г"*** <6-9')
- оо - оо
Замечание 2. Потоки для Я = Если гамильтониан пропорционален собственному
значению ?*, тогда, поскольку ba(t,k, t) = 0, из (6.32а) получим, что
+оо
*(?*)=¦-7- \ (б(7Ф2^2 - ёт-ф,^,)^ dx. (6.92)
Qu J " -оо
Следовательно,
Приравнивая коэффициенты в (6.55) (предположим опять для простоты, что г
= -q*, = ix\k, а = 4id), найдем
(bп п :=Ы? 7ч, =П R^, = 9Sftt
6.7. Системы с двумя дисперсионными соотношениями
221
Уравнения движения тривиальны. Представим, что начальные данные разложены
на солитонную и радиационную составляющие. Тогда солитон, соответствующий
т]б, движется с постоянной скоростью, а все остальное неизменно.
6.7. Система с двумя дисперсионными соотношениями
В разд. 6.5, 6.6 рассматривались эволюционные уравнения, в которых обе
зависимые переменные удовлетворяли одному и тому же дисперсионному
соотношению. Было показано, что это приводит к системам, обладающим
бесконечным набором интегралов движения.
В этом разделе будет проанализирован случай, когда q и г удовлетворяют
двум различным дисперсионным соотношениям. Зададим движение данных
рассеяния 5_ уравнениями
6(т)-2М4- 8(т)--"Т' <6.95)
606 = 2mk%, б?б = 2Zk, k = \, N,
606 = - 2m*p*t Ьи = - 2Zft, k = 1, ..., N. (6.96) Тогда из (6.55)
вытекает
(_?) = -т! (Miv* + M±v*)dt +
+ 4>'I !"¦.№ +РЛЩ-4/? (шАЧ + Мй). (6.97)
<s-l
Поставим вопрос: существует ли оператор Q, действующий на вектор ( )
так, что
йчм = _ 2MWa, QY-4 = - 2М*?А, МфМ,
причем по-прежнему получатся уравнения, представляющие практический или
теоретический интерес? Удобно ввести функции
^ ( I2*)- (6-98)
\ 'Ф2Ф2 ' ' - Ф1Ф1 '
Можно показать, что (для удобства обозначений предположим, что q и г
финитны, а значит, Б/а и b/а. аналитичны)
"Г* 1 лтга^ if* 1 -
222
6. Обратное преобразование рассеяния
Здесь С, С - контуры, такие же как и в разд. 6.4. Функция Чгл (л:, ri)
определена лишь для вещественных и и для собственных значений ?*. Для
того чтобы Ч(tm) стремилась к нулю при х->-±оо, для вещественных и
необходимо потребовать 6(т]) = = ?(и) = 0. Рассмотрим взвешенное среднее
от функции ^(х, и) на вещественной оси и
+ оо
S g{v)%A{x,i\)dr\, (6.100)
- оо
где функция g(ri) аналитическая в полосе, содержащей вещественную ось, и
