Солитоны - Буллафа Р.
Скачать (прямая ссылка):
Ф~ (S) = Ф| - Ф?. Ф+ (S) - + Ф?" Ф* - (фг - Ф|)6к.
Ф?=(Ф2 + Ф1)6*> ъ'к = -^ (ф! ~ ф?) \tk ¦ (6-141)
Функции ф_(?) и ф+(?) удовлетворяют соотношениям
Lj(p+{0 = ^--j-^r - q2 + q { dw"^+(S) = SV(C).
Ф+(?)-=2"?ф-(?). (6.142)
Для любой целой функции F(^2) эволюционное уравнение
qt = i?F(L*)q, (6.143)
как следует из (6.139), (6.140), (6.142), разделяется в пространстве
данных рассеяния на выражения
(тХ-^Й-г. л.-аучв)"* {"-в. *-1 Н-
(6.144)
Например, для f (Е;2) - -4/Е;2 уравнение (6.143) является
модифицированным уравнением Кортевега - де Фриза
<7< + 6<72<7* + qxxx *= 0.
С другой стороны, это уравнение может быть обобщено на сингулярные
функции /ДЕ;2). Если F(t,2)-i/4Е;2, то получим
<7/ = у(ф2ф2 - Ф1Ф1)&=о = - у sinn, (6.145)
X
где и(х, t) - - 2 ^ q(x, t)dx. Здесь использованы формулы,
- ОО
полученные в [6.49].
С помощью соотношений ортогональности, которые приводятся в приложении В,
можно показать, что симплектическая форма
+ 0° Г X у.
5 \bqdy\dx (6.146)
- оо I. - оо )
6.10. Уравнение sine-Gordon
233
сохраняется при обратном преобразовании рассеяния и равна
+оо
5 4^fr)A6Arg6(^^+Z6("lnSft)A6ln&ft- (6Л47)
о
Переменные действие - угол суть
-|п (при | вещественных и положительных), - In ?* и
Arg6(l)> In bk (6.148)
соответственно.
В [6.63] показано также, что
*№)<
где в случае дисперсионного соотношения
^(S) = ^(S2)-Sa2m+.S2m+1 (6-149)
О
гамильтониан есть
оо
На = У ^2m+1^2m+l' (6.150)
о
Последовательность {Сг}"=1 определена (6.25).
Для сингулярных дисперсионных соотношений гамильтониан определяется
значениями функции 1па(?) и ее производных, взятых в некоторой точке ?.
Для F(^2)=i/At^, что, как было показано, отвечает уравнению sine-Gordon,
гамильтониан есть
н=Нж[па\-"-' (6Л51)
согласно (6.21),
+ оо
Н = --j ^ (Ф1Ф2 + Ф1Ф2 + l)s=odx =
= - -j ^ j^l-cos^-2 (6.152)
Посредством (6.86) гамильтониан может быть выражен через данные
рассеяния:
оо
k k
153)
В этой формуле выделяются два типа собственных дискретных значений: t,k
(Re ?* ф 0) и ir\k. Подобное выделение связано С тем, что первому типу,
т. е. парам (?k, - ?*)" отвечают более
234
6. Обратное преобразование рассеяния
сложные солитоны, называемые бризерами. Теперь легко проверить, что
d In bk 6Н
dt А (- In С*)
d In b (I) 6Я 1
dt . ( !n aa* \ 21 '
V 2nl J d (- In ?.) d ( In aa* \
= f) = 0. (6.154)
С учетом (6.133) это полностью согласуется с (6.144).
6.11. Уравнение Шрёдингера
Эволюционные уравнения, которые ассоциированы с уравнением Шрёдингера,
могут быть найдены методом, полностью аналогичным изложенному выше.
Рассмотрим разложение уравнения
+ оо
V2XX + [?2 + Ц (*, 0] и2 = 0, jj (1 + \х | + U2|)I<7(*, t)\dx < оо,
(6.155)
в систему
+ =q{x, t)v2, /eieex
... (6.156)
Vix - ^Ц2= - Vi.
Определим решения <p(*, t,Z), Ф(jc, /, ?), тр (л:, ф (•*, t,?) следующими
асимптотиками:
Х= - ОО Х~-\- оо
ф / 2Цае~11°х Л
К 1 ) V ае~{^х + bell°x )
ф (!)•'* /2 ЦВе-Ч* \ V aell°x + Ье~'^х )
Ч> (-2ЦЬе~11;-х N Кае^-Ъе-Ч* ) (!)•"*
Ф ( 2Цае-*х \ (?)•-"*
\ ае ъ - ае ъ /
Коэффициенты рассеяния а(?, /), а(?, /), b&,t) опреде-
ляются соотношениями между парами решений
Ф = аф + И, ф = аф_5ф) (6 157)
ф = йф -j- Ьф, ф = йф - йф.
6.11. Уравнение Шрёдингера
235
При этом а а - bb = 1. Можно показать, что а, ф, ф аналитичны в верхней
полуплоскости переменной ?, а а, ф, ф - в нижней. Нули а(?, /) и a(Z,t)
являются дискретными собственными значениями (6.155) в верхней и
соответственно нижней полуплоскостях Если фг(С) есть решение (6.155), то
этому же уравнению удовлетворяет и ф2(-?). Следовательно, имеет место
ф2(?) = ф2(-?)• И3 этого можно вывести a(t,) = a(-?), 5(?) = = Ь{-С). С*
= -С*. k=\, Если q{x,t) вещественная,
то а*(1*) = а(-С), Ь* (?*) = 5(-С) и все С* = Л* - вещественные. Будем
предполагать, что нули a(t,,t) простые и не лежат на вещественной оси.
Линейные интегральные уравнения, позволяющие восстановить потенциал по
данным рассеяния, содержат следующие комбинации этих данных:
S+; -j(?, t), С вещественное; (?*, у*). k = l, N,
Здесь yk = bk/a'k, Pk = bk/a'k = - l/bka'k, a bk определено равенством
ф(С*,0 = 5*ф(?/!, /) и совпадает с аналитическим продолжением b{t,,t) до
Са, если такое существует. Вычисления вариаций данных рассеяния приводят
к следующим формулам:
5_; -^(?, /), С вещественное; (?*, р*), k = l, N.
(6.158)
+ 00
6(I)=W S ~6wtdx'
- со
- oo
- oo
236
6. Обратное преобразование рассеяния
Удобно ввести следующие двойственные множества ') функций: Ф(х, t, ?) =
ф2, ? вещественное;
Фк{х, 0 = Фг(^). Хк(х, = k==l.....N (6-161)
и
V (*, t, S)=='ll,2> S вещественное;
Чк(х.() = Щ^)> **(*¦ 0 = (-^)fc. k = \(6.162)
Функции (6.161) удовлетворяют уравнению
Е5Ф = ?2Ф, Ls = -\^-q+\ \ dyqy. (6.163)
- ОО
Сопряженным множеством к (6.161) является
(6.164)
Эти функции удовлетворяют уравнению
R
Ь?ФА = С2ФА + у qx^2(R), L* = -^-§^-q+^qx\dy,
X
(6.165)
применяя (6.156), мы рассматриваем предел R-+ + оо. Множество функций
(6,162) удовлетворяет уравнению
