Солитоны - Буллафа Р.
Скачать (прямая ссылка):
преодоление затруднений, на которые наталкивался прямой метод, было
осуществлено с помощью обратного преобразования рассеяния. Конечно, когда
ответ уже известен, то, внеся необходимые поправки в процедуру, можно
получить решение проблемы и с помощью прямого метода теории возмущений.
3) Бывает трудно интерпретировать секулярные члены.
Одно из преимуществ прямого метода теории возмущений заключается в том,
что он применим и тогда, когда невозмущенная задача неинтегрируема.
Резюмируя, можно сказать, что, хотя рассматриваемый метод и его варианты,
описываемые здесь, весьма мощны, не существует пригодного для всех
ситуаций подхода к задачам теории возмущений. Каждый метод обеспечивает
свой уровень понимания. Полезно исследовать трудности, возникшие в рамках
одного метода, на языке другого. Следующие три примера служат не только
для иллюстрации предлагаемого метода; каждый из них по-своему важен для
его приложений в общем случае. Хочется подчеркнуть большое значение
правильного использования законов сохранения. Другие важные примеры и
работы, связанные с теорией возмущений, содержатся в работах [6.57],
[6.72] -[6.93].
В первом примере рассматривается влияние внешних сил на солитонное
решение нелинейного уравнения Шрёдингера. Рассмотрим уравнение
4t - Щхх - 2 iq2q* - pq EeiQt, (6.194)
которое можно записать в виде (6.186) при й(?)=-2/?2, е(дДвозм = -pq-
EeiQt, где р и Е малы. Пусть невозмущенным состоянием является
q(x, t) = 2г) sech 2r) (х - х)ехр (- И\х - 2id).
В отсутствие возмущений
Л* = ?< == 0, a, = 2(!2-Ti2), *< = -4?. (6.195)
Для невозмущенных собственных функций справедливы следующие выражения.
Определим
VY*exp (iZkx) = Xk, VyH>/(?*) = "/*. k = /==1,2.
(6.196)
Тогда из формул (6.10), (6.69) следует, что
(/+?*?)"* = Г, Ul = -Bu'2, В = 1. (6.197)
L feft J
244
6. Обратное преобразование рассеяния
Производные квадратов собственных функций даются выражениями
лг
Ук\ - j =ых (щкГ -I-z ). 7~"' ~;?а
Ук = 2ix (u2kf - 2 ^ , 6 = 1...ЛЛ (6.198)
V К Jk ,tt (С* " Е*)
Для вещественных ? собственными функциями являются
ет-но^иш! ""¦
Односолитонному решению отвечает а - (? - ?,)/(?- ?j), ?,=?,+Й1,, Yi
=211, ехр (20, + 2/а,) [или Р, = (у,^2)-1 = = - 2т|,ехр(-20, - 2/а,)]. Из
(6.197), (6.198) и (6.58) получаем
q (х, I) - 2т|, sech 20, ехр 2/ ( а, + , (6.200)
где 0, = -трх + б,, 6, = ^ix + a,. В случае вполне интегрируемой системы
время t входит в решение только через 0, и а,, поскольку = 0. Если Q(?,)
= Qr(g,, 14,) + /Q"(g,,"П1), то, согласно (6.66), имеем
0" = -Qr, a[t = - Q,. (6.201)
Используя эти результаты, найдем
rit = - 2рт) + sech Щ sin х, lt = ~ sech Щ sin х (6.202)
(где х - й/ + 2?х -|- 2ф). Отсюда можно показать, что (14^),= = -2р(|т|).
Это означает, что либо ?, либо т| стремится к нулю. Именно, если ?
слишком велико, то тогда имеется несоответствие между пространственной
фазой солитона и внешнего поля, что приводит к затуханию солитона. С
другой стороны, если ? первоначально не слишком велико, то оно стремится
к нулю, и пространственная фаза солитона стремится к фазе внешнего поля.
Пусть | = 0. Тогда для Х( получим уравнение
Х( = Q-4T]2, (6.203)
которое вместе с
il< = - 2/hi + л?/2 sin х (6.201)
позволяет найти г] и х- Анализ фазовой плоскости показывает, что солитон
фазово-замкнут по отношению к внешнему полю
6.12. Сингулярная теория возмущений
245
(т. е. %t = 0) лишь когда Й принадлежит интервалу
0 < Q < л2Е2/4р2. (6.205)
С другой стороны, если Й>0 и фиксированно, то на приложение внешней силы
солитон не реагирует и проходит сквозь внешнее поле при амплитудах,
больших 2р/л В этом
смысле солитон фазово-замкнут по отношению к внешнему
полю и достигает амплитуды ^0, совершенно независимо от
величины Е и р, пока выполняется (6.205).
Уравнения (6.202) могут быть просто получены [6.75] вычислением
-ф ОО ф оо
¦ж \ м*йх и it S (Wx-fwV*
- оо - оо
с помощью (6.194) и использованием невозмущенного солитона для
определения членов правой части уравнений. Второе уравнение дает д(%г\)
/dt = -2р(?г|).
В первом примере были вычислены лишь изменения параметров солитона, и
появление непрерывного спектра не учитывалось. Это не всегда
обосновано, как будет показано во втором примере. В
последующем мы попытаемся описать распро-
странение солитона в мелком слое воды, глубина которого начинает медленно
меняться начиная с некоторого места t - t0. Соответствующее уравнение
является возмущенной формой уравнения (6.1),
+ 6<де* ф ?*** = - Г?, Г = 0(e), 0<е< 1, (6.206)
причем t отвечает положению солитона, х отвечает времени, а Г
пропорционально Dt, изменению глубины. Заметим, что если глубина убывает
(Г < 0), то -Tq приводит к увеличению волны. Невозмущенное
многосолитонное состояние дается следующими уравнениями:
*/ + ? Ук % = ехР (W> I *= 1 N, (6.207а)
?k Ф
k=\ R 1
С
fi'i , у УАехРф^ + ?/)* д. /Я0П7М
.д? ixtyj + 2_, ^ + ' I *>•••> ЛгI (0.207b)
1l3(S):== eitJC^l - ^, ? вещественно. (6.207c)
Если N = 1, ti - 1Ц, Yi=2/rie20, то из (6.170) находим
