Солитоны - Буллафа Р.
Скачать (прямая ссылка):
содержащейся в нем воды имеет порядок 1.
Следует заметить, что все эти результаты могут быть получены и
непосредственно с помощью правильного использования законов сохранения
[6.83-6.85]. Предположим, что q(x,t) состоит из солитонной части = 2г]2
sech2 г) (л: - х) и шельфа qc(x,t). Из (2.21 lb) найдем тр = -(2/3)Гг).
Из (2.211с) следует xt ~ 4г|2; в главном члене можно считать, что угловая
переменная х меняется адиабатически только под влиянием изменений т)х.
Используя закон сохранения локальной массы, по-
X
лучим д/дt ^ qcdx = xtqc (х) - - 4т)Г/3. Следовательно, в мо-о
мент возникновения qc(x) = -Г/Зтр Используя рассуждения предпоследнего
абзаца, можно получить (6.210) и описание глобальной структуры шельфа.
Перечислим результаты, относящиеся к нескольким важным примерам.
Рассмотрим уравнение
4t + §qrQx + Я ххх = Fj (6.220)
где qs - a sech2/r r| (х - х), аг - (г + 1) (г -ф 2) г)2/3л2. Пусть
г = 1, F - sq (случай а). Тогда
11 = 110 ехр (f-e/), xt = 4 if, qc^=--¦ 0<x<x.
+ (6'221а)
Пусть теперь г = 1, F = eqxx (случай Ь). Тогда
( 16т1о8/ \ 1/2 8г)0е ( Чех Л
tl = По(<1 Н J • %t - 4л > Яс ^ ехР "75" ) • (6.221Ь)
0 <х < х.
Наконец, пусть г *= 2, F - щ (случай с). Тогда
f] rfo ехр (2е/), ^< = Т12, qc - - е ехр (2е<) , 0 < х < х. (6.221с)
Щ + 4ех
Мы описали поведение системы в главном порядке на временах порядка е-1.
Но процесс на этом не кончается, поскольку шельф продолжает развиваться.
Уравнение (6.185) при m = 1 дает
+ оо N оо
J <7^ = 4^ (6<222)
- оо ft-1 О
где N есть число связанных состояний, соответствующих потенциалу q(x,t).
Если Г > 0, то левая часть равенства есть
250
6. Обратное преобразование рассеяния
4т]0ехр1 - \ Г ds ), первое слагаемое правой части равно
соответствующее вкладу непрерывного спектра, которое всегда отрицательно
или равно нулю, может скомпенсировать разницу двух предшествующих членов.
В случае Г < 0, что соответствует уменьшению глубины, очевидна
необходимость дополнительных связанных состояний, чтобы (6.222) могло
выполняться (это замечание было впервые сделано Райтом [6.94]). Таким
образом, представление о том, что уменьшению глубины в направлении
распространения соответствует непрерывный спектр, неправильно. Ситуация
аналогична спектральному разложению
для широкой (порядка ^4т]2Л, т. е. е-1) потенциальной ямы
и
глубины Г (порядка е). Для такого потенциала имеем дискретный набор
собственных значений (ti/Of, ГДе К порядка е_1/2, которые плотно
заполняют интервал длины е1/2 на положительной мнимой оси в комплексной
плоскости. В теории возмущений наличие такого эффекта проявляется в том,
что развитие а(?, t) неравномерно по разложению. Карпман и Маслов [6.77]
пытались объяснить этот эффект возникновения новых связанных состояний
введением единственного дополнительного солитона, однако это не совсем
правильно.
Затем при временах порядка (1/е)1п(1/е) становится заметным влияние
нелинейного члена 6qqx- Заметим, что для таких времен и расстояний шельф
полностью отрывается от первоначального солитона, т. е. если х 3> О
(1/е), то в непосредственной близости за солитоном qc имеет порядок (ех)-
5/4, ехр(-2e.it/15) и (eJt)-1 в примерах а, b и с соответственно.
Нелинейный член приводит к увеличению крутизны до тех пор, пока при t =
0{ (1 /е) In (1 /е)) она не станет порядка единицы. Последующая эволюция
шельфа вновь подчиняется возмущенному уравнению Кортевега - де Фриза, в
котором -Г <7 является членом, описывающим возмущение. На фронте шельфа
формируется цуг солитонов, который на промежуточных временах (длинных по
сравнению с (1/е) 1п(1/е), но коротких по сравнению с временем, за
которое задняя часть цуга пройдет до конца шельфа) подобен решению,
найденному Гуревичем и Питаевским [6.95] для описания развития разрывного
начального профиля в виде постоянной ступеньки. Главный импульс этого
цуга имеет вид
q =2r]2sech2 т] - 4т]2/ + -j In/ -f const) , где ц2 равно максимальной
амплитуде разрыва. Когда задняя часть цуга достигает
Значит, второе слагаемое правой части,
6.12. Сингулярная теория возмущений
261
конца шельфа, индивидуальные импульсы цуга превращаются в индивидуальные
солитоны. Задача, рассматриваемая здесь, сложнее той, которая
рассматривалась Гуревичем и Питаевским, поскольку, во-первых, шельф не
постоянен по х и, во-вторых, возмущение влияет на эволюцию. Тем не менее
описанная картина качественно остается правильной.
Случай Г > 0 менее интересен. Солитон в этом случае медленно затухает, а
шельф, затухая, превращается в цуг длинных диспергирующих волн малой
амплитуды.
Третий пример демонстрирует применение теории возмущений для исследования
длинноволновых дву- и трехмерных нестабильностей одномерных солитонов и
бризеров. Рассмотрим (6.186) при г = -q* и (е<7()возм = iyqyy. Если Q = -
2г'Е;2, то соответствующее уравнение qt - iqxx - iyqyy - 2iq2q* = 0
является нелинейным уравнением Шрёдингера в двумерном пространстве. Как
уже отмечалось во введении, одномерный солитон