Солитоны - Буллафа Р.
Скачать (прямая ссылка):
функций, причем ни один из их полюсов не принадлежит спектру
рассматриваемой задачи на собственные значения. В этом случае уравнение в
частных производных обладает бесконечным набором интегралов. Каждый из
них порождает, как гамильтониан, поток, для которого остальные интегралы
по-прежнему сохраняются. Второй тип эволюционных уравнений возникает,
когда имеется два существенно различных дисперсионных соотношения (одно
для q, другое для q*- его комплексно сопряженного). В этом случае поток
необратим, и необратимость как раз ц связана с различием дисперсионных
соотношений. Частным Примером, который будет рассмотрен в этой связи,
является задача о распространении когерентного импульса в резонирующей
среде. В качестве важного, но, впрочем, сингулярного предела, будет
проанализировано, что происходит, когда дисперсионные соотношения
стремятся друг к другу и имеют полюс на вещественной оси волновых
векторов. Третий тип уравнений будет рассмотрен в случае, когда полюс
дисперсионного соотношения ?2(&) совпадает с одним из значений
дискретного спектра. В этом случае это собственное значение может
двигаться. Соответствующий солитон по-прежнему сохраняет свою
индивидуальность, но теперь это изменяющаяся индивидуальность,
202
6. Обратное преобразование рассеяния
Принятый в настоящей главе подход - начать с той или иной задачи
рассеяния, а затем найти и охарактеризовать подходящим образом все
уравнения, интегрируемые с помощью преобразования рассеяния, связанного с
этой спектральной задачей. Некоторый прогресс был получен и в обратной
постановке задачи. Именно, как по данному эволюционному уравнению
установить, интегрируемо оно или нет, а если интегрируемо, то как найти
соответствующую задачу на собственные значения? Существуют формальные
процедуры, которые являются вариантами идей Уолквиста и Эстабрука (см.
[6.60] - [6.62], [6.57]) или основаны на них. Каждая из этих процедур
сводится к нахождению нетривиального решения для некоторой алгебры Ли
(обычно незамкнутого). Оказывается, что если уравнение интегрируемо, то
существует однопараметрическое семейство решений. Соответствующий
параметр играет роль собственного значения в задачах рассеяния. Хотя, как
уже было сказано, прогресс в этом направлении был достигнут, до сих пор
отсутствует приемлемое описание интегрируемых уравнений.
Так как большая часть материала этой главы уже появилась или должна
появиться в литературе [6.59, 6.63], то в основном настоящая глава
представляет собой общий обзор сделанного ранее. Материал разд. 6.11, в
котором предложены разложения по квадратам собственных функций уравнения
Шрёдингера, является новым и нигде не публиковался.
6.2. Обобщенная задача Захарова - Шабата на собственные значения
Рассмотрим задачу на собственные значения ои+ ^ (х, t)v2,
- ОО<Х<00. (6.16)
Щх - 1&2 = г(х, t)vu
В этом разделе будут описаны свойства данных рассеяния для (6.16), когда
оба потенциала q{x,t) и r(x,t) абсолютно интегрируемы на оси (-оо,
оо). Определим решения <p(x, t, ?),
ф(х, t, ?), ф(х, t, ?), ф(л:, t, ?) по их асимптотическим
свойствам
(6.18), которые перечислены ниже в виде таблицы. Для (ф, ф) асимптотика
задается на -оо, а для (ф, ф) на +оо. Так как только два из четырех
решений могут быть линейно независимыми, то при вещественных ? имеются
следующие соотношения:
ф=аф + 6ф, ф = 5ф -аф,
ф = - аф 4- 6ф, ф = аф 4- &ф.
6.2. Обобщенная задача Захарова - Шабата
203
Из свойств вронскиана для <р и ф и их поведения на -оо вытекает, что аа
4- bb = 1.
Ф
Ф
(!)•-
(-?)¦
(ft (С, t)e~*x\ V а (С, 0 е*х )
/а(С, Л
Ч - ft ", t) в1С* /
¦ + оо
/) e-it* t) е^х
.(С*
(в К.
W,
( в к. о ч - а ", 0 в1
(!)"'"
)
)
(6.18)
Подробно свойства этих функций изложены в работах [6.23], [6.59], [6.63].
Здесь приводятся лишь наиболее важные из них.
1) Если q(x,t) и r(x,t) абсолютно интегрируемы, то фе'?*,
а(?, t) = Ф1Ф2 - Ф2Ф1 (соответственно фе~'?*, а(?, /)=
= ф1ф2 -Ф2Ф1) аналитичны в верхней (нижней) полуплоскости b{l, t), B(Z,t)
определены для вещественных ?• Если су-
4-00 4-00
ществуют интегралы ^ | х \nq{x, t) dx и ^ | х |n г {х, t) dx, то b
- оо -оо
и В дифференцируемы п раз. Более того, если q(x,t) и r(x,t) финитны, то
все величины аналитично продолжаются на всю комплексную область параметра
?. В частности, b(%,t) и [5(?, 01 определены в точках дискретного спектра
(6.16).
2) Поскольку "(?, 0 = 2 - фгф 1 (соотвественно а = = Ф1Ф2 - Ф2Ф1)
аналитнчна в верхней (нижней) полуплоскости, то нули этой функции
соответствуют таким значениям ?*(?&)> Для которых ф(ф) пропорционально
ф(ф) при всех х. Функции ф и ф при 1гп^>0 убывают на -оо и +00
соответственно, поэтому величинам отвечают ограниченные собственные
функции. Запишем ф(?*, 0 = МОФ(?*. 0. Ф(U, t) = bk(t)$&k, t). Если q и г
финитны, то b(^k,t) = bk(t), a b(?,k, t) = bk(t). Аналитичность a(S, 0
(или а(?,/)) и то, что они стремятся к единице в соответствующей
полуплоскости, обусловливает конечность N и М-количеств дискретных
