Солитоны - Буллафа Р.
Скачать (прямая ссылка):
собственных значений
и {?*}*",. Мы предполагаем, что ни одно из собственных
значений не лежит на вещественной оси. Читателю может быть
204
6. Обратное преобразование рассеяния
полезно проверить некоторые из сделанных выше утверждений на примере
- г{х, 0) = q(x, 0) =
3) Набор параметров S = [fe,, ft*}?.,, 4, &a}*Li> аЦ, t),
b(t, t), aft, /), b(t, 0} называется данными рассеяния. Оказывается, что
для восстановления г и q достаточна часть данных рассеяния.
Соответствующие формулы даны в [6.23], [6.63] и требуют задания либо
S* = $+{{?*, y*}?_" g*. y*}?.i. 7 (S. 0, j (6, 0, 1 = 1'} (6.19a)
(где yk - bk/a'k, yk - bkja'k, штрих означает дифференцирование по ?),
либо задания
S_=S_{(S*. р*)*_" (?*, р*)*_" 4 (Б, 0,1 = 1'}, (6.19Ь)
где = 1 lbka'k, pft = 1 jbka'k. Произвольное задание 5_ и 5+ не всегда
приводит к абсолютно интегрируемым и единственным потенциалам г и q
[6.63]. Это указывает на необходимость ограничений на множество данных
(например, таких, какие были найдены для начальных данных рассеяния в
случае /¦(*,0) = ±q*{x, 0)).
4) В работе [6.63], а также в настоящей работе показано, что
преобразование потенциалов q и г к данным рассеяния 5
+ оо
является каноническим для два-формы ^ бqAdrdx, т. е. со-
- оо
храняющим эту форму, и что сопряженные координаты в пространстве данных
рассеяния суть
А=а{ (2 itk, In ft*)*.,, (24, In ft*)*.,, [-1 In aa, In b (?)] } •
(6.20)
Эти результаты были даны в [6.63]. В настоящей работе они вводятся и
доказываются более наглядно и в большей общности. Для некоторых
гамильтонианов указанные сопряженные координаты являются переменными типа
действие - угол, и соответствующие уравнения тривиально интегрируемы.
5) Ситуация упрощается, если г линейно связано с q или q*. Сначала
рассмотрим случай г = aq*, где а вещественно. Тогда
Ф (С, х) = 5ф* (Б*, х), ф(?, *) = - -V (?*, х)/а, а (Б)
= а* (?*),
b(t,) = -b'(0/a, N = N, lk = Vk, Ьк*=-Ьуа. Здесь 5 =
0 ^
_ I- Если r=aq, а - произвольная вещественная или
f 0, х < 0, х > L,
to, 0 < х < L.
6.2. Обобщенная задача Захарова - Шабата
205
комплексная константа, ф(?, х) - Sx])(-?, *), ф(?, *) =
= 5ф(-?,х)/а, a(t)= а(-?), 5(Q=-b(-Q/a,.N = R, ?* = _ -Sk = -bk/a. Если г
= aq, где а, г, q вещественные, то ?*(?*) = а(-?)" b*(?)= b(-t,)-, кроме
того, если U (Re^^O) есть, собственное значение, то - также является
собственным значением. В задаче нелинейной оптики единственному
собственному значению = Щк отвечает 2я-импульс, или кинк, а паре
собственных значений - Оя-импульс, или бризер.
6) Имеют место следующие полезные соотношения:
- -JL In а = - I j ( ^ ^ - 1 )dx, Im? > 0, (6.21)
- оо
00
*5 [B{ix)C{i2)-B{t2)C{ix)\dx =
••оо
" 2 (?,- ы [2 Л (Sl) А (?2) ~В&)С fe) - 5 (Sa) С (Cl)]!!" • (6.22)
В (6.22) А, В, С удовлетворяют уравнениям
• Ax = qC + rB, Bx+2%B = 2qA, Cx - 2iZ,C = 2rA. (6.23)
¦Соотношение (6.21), которое выводится из формулы
t(ulW2 + u2wl) = -fc(- + (6-24)
(где (мьЫг) и (ш1,ш2)-решения (6.16)), позволяет выразить гамильтонианы
интегрируемых систем как функционалы г и q. В (6.32а) будет показано, что
вариация (6.21) дает 61па==
оо
= ^ (б^ФзФг/а - бгф,ф1/а)с1х. Соотношение (6.22) лежит в основе
- оо
доказательств соотношений ортогональности между квадратами собственных
функций и их сопряженными.
7) Два важных асимптотических соотношения указывают на центральную роль
функций In а (5) и In а (?):
оо
In а (С)------Zc"r", ImOO, ,"пгч
n-1 (6.25)
In fl(?)~ZrX. ImC<0.
В работе [6.63] было показано, что функция 1па(?) может
быть рассмотрена и как функционал от г и q, и как часть дан-ЙЫХ
рассеяния. При этом было показано, что она порождает класс
гамильтонианов, для которых соответствующие потоки
205
6. Обратное преобразование рассеяния
интегрируемы. Функционалы С" могут быть вычислены рекуррентным образом.
Первые три имеют вид
+ оо +0О
\ qrdx' с* = 1&у S 9rxdx>
- оо - оо
(в-2в)
С1=-Щ! \ ("'¦" - qV)4x.
- ОО
6.3. Эволюция данных рассеяния
Вычислим изменение данных рассеяния при инфинитезималь-ных изменениях
потенциалов г и q. Запишем (6.16) в виде
VX = PV, P = {~~tlr -J- (6-27)
Фундаментальная матрица решений
Ф = (Ф' (6.28)
\Ф2 ф2/
используется для вычисления решения вариаций (по параметрам) уравнения
(6.27)
/ - гб? bq \
(6V)X=*PW +6PV, 6 Р = ^ бг ,6J. (6.29)
В частности, когда V = Ф, получим
Г л / - 6?Ф2Ф2 + 6nPi<Pi - 6?ф2 + \
6Ф М - Ф I ЦуЗ _ 6гф2 6?ф2ф2 - бгф^, ) ^
Г / Дф1ф2 + Ф1Ф2) 21ф!ф2 \
V. - 2/Ф1Ф2 - i (Ф1Ф2 + Ф1Ф2))
(iL 0 \
+ 6?(о _,J. (6-30)
где использовано (6.18) для нахождения вариаций Ф и Ф по ?.
Пусть x - L и Lоо; найдем вариации коэффициентов рассеяния б а, б а, б Ь,
65, используя тот факт, что при л:->--{-оо
/ае~^х Ьб~^х\
V, Ье'^х - ае^х )
Удобно определить билинейную форму
+ 0О +00
I(u,v)- \ (- 6qu2v2+6rulvl)dx= \ ( бг V ( U{Vl 'j dx. (6.31) JL _i
\-bqJ \ u2v2)
6.3. Эволюция данных рассеяния
207
Получим
L
Ьа - - 1 (ф, ф) + 6? litn i \ (а - ф,ф2 - ф^) dx, (6.32а)
L-*°° Л
66 = /(ф, ф) +6? lim i [ (ф)ф2 + Ф2Ф1) dx, (6.32b)
