Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Буллафа Р. -> "Солитоны" -> 82

Солитоны - Буллафа Р.

Буллафа Р., Кодри Ф. Солитоны — М.: Мир, 1983. — 408 c.
Скачать (прямая ссылка): solitoni1983.pdf
Предыдущая << 1 .. 76 77 78 79 80 81 < 82 > 83 84 85 86 87 88 .. 156 >> Следующая

ситуацию. В частности, в работе Захарова и Шабата [6.48] была предложена
новаторская идея и дан более широкий (в том смысле, что он включал
дополнительную пространственную переменную) класс интегрируемых систем. К
сожалению, хотя эти авторы могут представить в лаксовой форме, т. е. в
виде коммутирующих операторов, много уравнений, однако предлагаемая ими
гипотеза, что собственные вектора вспомогательных линейных операторов
допускают треугольное представление, не всегда верна (даже для
одномерного случая), и ее справедливость существенно зависит от ряда
свойств, которыми все собственные вектора не всегда обладают. В настоящее
время полная теория рассеяния для более чем одного пространственного
измерения не создана. Ряд свойств локальных решений многомерных аналогов
хорошо известных уравнений показывает, что добавление лишних
пространственных переменных может приводить к неожиданным следствиям.
Наиболее ярким примером этого являются результаты Захарова и соавторов
[6.51-6.53], которые показали, что двумерное нелинейное уравнение
Шрёдингера (в (6.2) следует добавить -iqyy) обладает тем свойством, что
его решения становятся сингулярными за конечное время. Это противоречит
интуитивному представлению о том, что дополнительная геометрическая
дисперсия в пространствах двух и более измерений должна перевесить
эффекты нелинейной фокусировки. На самом деле все не так просто. Следует
упомянуть замечательное наблюдение Майлса [6.54, 6.55] (см. также [6.56],
[6.57], где содержится обобщение этих идей) о резонансе солитонов в
уравнении Кадомцева - Петвиашвили [6.58] (часто назы-
200
6. Обратное преобразование рассеяния
ваемом слабо двумерным уравнением Кортевега - де Фриза, так как оно
предполагает слабое изменение в перпендикулярном пространственном
направлении на временах, на которых эффекты нелинейности и дисперсии
становятся существенными):
Майлс заметил, что сдвиг фазы двухсолитонного решения стремится к ±оо,
если параметры солитонов удовлетворяют определенным условиям резонанса
линейного типа. Это еще раз показывает, что поведение многомерных систем
может оказаться необычным.
Однако в центре внимания настоящего обзора лежит тесная связь между
обратным преобразованием рассеяния и преобразованием Фурье, и поэтому
далее будет рассматриваться случай только одной пространственной
переменной. Мы следуем идеям, намеченным в [6.59]. Хотя для наших целей
подходят весьма разнообразные задачи рассеяния (часть их будет приведена
в разд. 6.13), каждая из которых обладает своими специфическими и
интересными чертами, в этой статье будут рассматриваться в основном
обобщенная задача Захарова - Шабата на собственные значения
Ключевыми являются следующие две идеи. Во-первых, инфи-нитезимальная
скорость изменения данных рассеяния может быть выражена через внутренние
произведения инфинитези-мального изменения потенциала и квадратов
собственных функций соответствующей задачи, а также их производных. Эти
выражения составляют основу теории возмущений, которая будет описана в
разд. 6.12. Во-вторых, квадраты собственных функций образуют базис, и,
следовательно, предыдущие соотношения могут быть обращены. При этом
скорость изменения потенциала представится в виде разложения по квадратам
собственных функций с коэффициентами, которые выражаются через изменения
данных рассеяния. Подобные разложения полностью аналогичны разложениям
Фурье
Vix + Xpx = q{x, t)v2, v2x - it,v2 = г (x, t) vx
(6.12)
и уравнение Шрёдингера
vxx + [?2 + q (x, 0]" = 0.
(6.13)
u(x, t)= ^ A(k, t)eikxdk,
(6.14)
ut(x, t)- ^ At(k, t)elkxdk.
6.1. Общие замечания
201
Следующий вопрос, который будет рассмотрен, связан с описанием
максимально широкого класса эволюционных уравнений, интегрируемых
преобразованием рассеяния, соответствующим фиксированной задаче на
собственные значения. Из сказанного выше следует, что этот вопрос
эквивалентен описанию операторов Q, таких, что действие их на разложение
для потенциала сводится к действию по отдельности на каждый член
разложения. Для таких операторов уравнение
uf = ?2u, (6.15)
где и потенциал, интегрируемо. Интегрируемость вытекает из того, что,
сравнивая коэффициенты разложений правых и левых частей (6.15), получим
систему обыкновенных дифференциальных уравнений для скорости изменения
данных рассеяния, выраженную через данные рассеяния и преобразование
?2(6) оператора ?2, взятые при одном и том же значении волнового вектора
k\ ?2(&) называется дисперсионным соотношением. Например, для разложения
(6.14) класс интегрируемых уравнений отвечает операторам ?2 = дп/дхп, при
этом Q{k) = {ik)n.
Оказалось, что существует три различных типа эволюционных уравнений,
которые могут быть классифицированы в соответствии с характером
дисперсионного соотношения (или соотношений). Первый тип отвечает
ситуации, в которой существует единственное дисперсионное соотношение
?2(&)> которое является либо целой функцией, либо отношением целых
Предыдущая << 1 .. 76 77 78 79 80 81 < 82 > 83 84 85 86 87 88 .. 156 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed