Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Буллафа Р. -> "Солитоны" -> 86

Солитоны - Буллафа Р.

Буллафа Р., Кодри Ф. Солитоны — М.: Мир, 1983. — 408 c.
Скачать (прямая ссылка): solitoni1983.pdf
Предыдущая << 1 .. 80 81 82 83 84 85 < 86 > 87 88 89 90 91 92 .. 156 >> Следующая

l l
Кроме того,
+ oo
(_') = -ir 5 (T4'+i*)'" + 2iIv"4',-2/2v"4V
v 7 1 1 (6.58)
Получив эти выражения, можно задать вопрос: какие операторы
Q действуют на ^ ^ так, что на каждый член разложения
по ? они действуют по отдельности? Для таких операторов уравнения в
частных производных
в(-*)+0С)"° <6Ю)
приводятся путем простого приравнивания коэффициентов в разложениях для
6^ _ ^ и Q ^ ^ к разделенной системе
обыкновенных дифференциальных уравнений для скорости изменения данных
рассеяния. Таким образом, фурье-разложе-ния (6.55) - (6.58) являются
"каноническими" для множества операторных уравнений (6.59), где оператор
?2 диагоналей в спектральном представлении LA, т. е. действует на каждой
компоненте спектра по отдельности. Эти уравнения будут рассмотрены в
разд. 6.5, а пока сделаем несколько замечаний по разд. 6.2-6.4.
Замечание 1. Можно теперь непосредственно доказать, что обратное
преобразование рассеяния является каноническим, т. е.
оо
сохраняющим симплектическую форму J bqhbrdx. Рас-
- оо
смотрим скалярные произведения уравнений (6.55), (6.57), взятых с
различными вариациями 6i и 62. Используя выражения для внутренних
произведений, полученные в приложении А, найдем
-foo +00
J bq Abr dx = J 6-^Лб1пМ?)Ч? +
- оо -оо
N N
+ Y ЬЩц Л a In bk + Y 62Ilk А б In 5*. (6.60)
6.4. Квадраты собственных функций и фурье-разложения 213
В этом выражении использовано, что для вещественных ? имеет
место равенство 5 = (1 - аа)/Ь. В разд. 6.6, где будет развит
гамильтонов формализм для рассматриваемых уравнений, соотношение (6.60)
позволит отождествить (1п6(?), In bk, In и (л_11п аа, 2tU 2/?*) с
переменными типа угла и действия соответственно.
Замечание 2. Для пояснения сути сделанного возьмем линейный предел
(6.55), (6.57). Вычисляя собственные функции с точностью до первого
порядка по г и q, получим а " а " 1,
4м э* - ^ ^ ^е~21^х, s ( q ) е2|С*.
Тем самым (6.55) и (6.57) сводятся просто к соотношениям линейного
преобразования Фурье
+ оо +00
6г = ~ ^ 6Ье2'^х dt,, г ~~л 5 be211"* dt,,
-+. (6-61) 6q = - -^- J bbe-^dl,, q = - 1 J be~2llx dt,.
- oo - oo
Замечание 3. В этом замечании мы обратим внимание на то, что описание
данных рассеяния было формальным. При произвольном задании данных
рассеяния S+ или S_ можно получить сингулярные или неединственные решения
r(x,t) u_ q(x,t). Например, если Ь = Б = 0 при вещественных Л'' = Л7 = 1
и 5_ =
= ((Ci"-Pi)i (?i. Pi))> то соответствующие г и q имеют сингулярности вида
(х - лго(О)-1- Фактически сингулярности могут возникнуть, даже если
начальные данные г(х, 0) и <7(лг, 0) не имели сингулярностей и были
абсолютно интегрируемыми. Происходит это из-за того, что базисы ?_ и Е+
становятся сами сингулярными в этой точке t. Одно из необходимых условий
формализма Лакса сводится к самосопряженности оператора L, эволюция во
времени которого является унитарной. Вследствие этого оператор В,
описывающий эволюцию во времени собственных функций, кососимметрический.
Таким образом, преобразование собственных функций подобно вращению, и их
величина ограниченна. Остается открытым вопрос о необходимых условиях на
г и <7, которые обеспечивали бы отсутствие сингулярностей при всех
временах t. Известно, что для г = aq* (а вещественное) и для г = aq (а
комплексное, q вещественное или чисто мнимое) достаточным условием
отсутствия сингулярностей яв-+ °°
ляется ^ |<7|??л:<оо. Эти условия (подробнее см. [6.23])
214
6. Обратное преобразование рассеяния
гарантируют также единственность решения уравнений обратного
преобразования рассеяния. Возможный ответ о необходимых условиях дан
Флашкой и НьюелломДб.63].
Замечание 4. Соотношения (6.55), (6.56) могут быть записаны в виде,
который проясняет их смысл и является весьма полезным для дальнейших
обобщений:
((6-62)
с с
(6М)
с с
Для записи соотношений в таком виде необходимо, чтобы Б/а и b/а допускали
аналитическое продолжение на верхнюю и нижнюю полуплоскости
соответственно. Здесь С (С)-контур, идущий из - оо в -f оо над (под)
всеми нулями функции о(?)(о(?)). Важно заметить, что эти выражения
остаются справедливыми и в более широкой ситуации, когда а(?) и а(?)
имеют кратные нули. В предшествующей форме разложений для (бг,-бq)T и
(r,q)T в случае, когда а(?) имеет полюс второго порядка, следовало бы
включить члены с величинами (д2Ч7д?2) *, (Л/^)*.
6.5. Эволюционные уравнения класса I
Зададимся вопросом: какие операторы Q, действующие на (r,q)T в (6.56),
дадут (бг,-бq)T? Ясно, что если Q действует по отдельности на каждую ^-
составляющую, то уравнение
(_?)+"0) = ° (6-64)
сведется к разделенной системе обыкновенных дифференциальных уравнений
для данных рассеяния. Очевидно, что кандидатами на Q являются полиномы от
LA. В действительности требуемому свойству удовлетворяют любые операторы
В, коммутирующие с LA, так как LABWA = BLAWA = ^вФ4 и ВУ?А является
линейной комбинацией решений уравнения LAWA = 54м. Для удобства изложения
разобьем интегрируемые уравнения на классы. Первый класс будет связан с
Предыдущая << 1 .. 80 81 82 83 84 85 < 86 > 87 88 89 90 91 92 .. 156 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed