Солитоны - Буллафа Р.
Скачать (прямая ссылка):
L~*°° _{
L
66 = - / (ф, -ф) + 6g lim г \ - (ф^г + ФгЧ"!) (6.32с)
L-*°° Л
L
6а --/(ф, ф) + 6? lim i \ - (а + ф^ + ^ф,)^. (6.32d)
L-+00
Соотношение (6.24) позволяет отождествить вторые члены правых частей
равенств (6.32) с производными аj, 65, Ьj, аj соответственно. Заметим, в
частности, что (6.32) может быть записано как общее изменение а(?),
равное сумме вариаций по г, q Yit,.
Из формул (6.32) можно получить вариацию данных рассеяния 5_:
S_=S_{(?a, Ра)*_р (Ik, Т' Т' ? вещественно|, (6.33)
где
рюмг-г*)-^ р(?)=(?-У4- <6-34)
Если ? вещественно и 6? = 0, то
"(тЬ-гт'<**>=¦:>-] <6.35)
6 (4) "-? "*• =тН ( _ ^ )dx- кж>
Для удобства вычисления бр*, 6?* предположим, что q и г финитны, и
рассмотрим аналитическое продолжение (6.35) до ? = ?*, 1т{?*}>0.
(Напомним, что нули а и а предполагаются простыми.) Разлагая (6.35) в ряд
Тейлора в окрестности ? = - %k, получим для членов первого порядка по (?-
?*)
Э"Ь + ар(С-?*)+ •••
208
6. Обратное преобразование рассеяния
Так как р(?, /) = р (?л (/),/) + (? - ?л) p'fc (?л (/),/) + то 6р =
="p. - ад+(с - г") ("р; - ад) + . • ¦ •
(Здесь штрих означает производную по ?.) Приравнивая коэффициенты при
степенях (? - ?*), получим при k= 1 N
6^+-^-/а(Ф,Ф) = 4 S f fVfil dx, (6.37) "ft "ftlV-в?/ 4^2
e(-V)=fipft= Ф)1 =
Vfc^ft/ "ft L ak J
Заметим, что из (6.37) вытекает
ба (0>'] - ~ Vft №. Ф) 4- вЕ*аЦ = 0
(так как фа = 6аФа). Последнее равенство показывает, что ?а остается
нулем a (?). Аналогично
^а=4-/а(Ф,Ф) = У- [f dx, (6.39)
"ft ft -ю\ - / V^lAft
Г^ф.Ч") -^-/ft (ф, Ф)1 =
\bkakJ ak I ak I
-A+f( vv[-(?) }dx- (wo)
"а -оо V - 6<7 / 4^2 Aft "ft Vt>2 Aft J
Наиболее важным является то, что вариации данных рассеяния просто
выражаются через внутреннее произведение вектора (бг, -бq)T и множества
квадратов собственных функций
ЧЧЗ, •¦-*(c),. - ча,-
•-(c)5Т'-1................*'-(!)¦
- / ф? \ )
Чг = | I. t вещественной. (6.41)
W ' )
6.3. Эволюция данных рассеяния
209
Аналогичным образом можно найти изменения данных рассеяния
?+ = {(?*, Y*)Lp (S*. Y*)Lp Т' Т' ^ вещественно|
(где Yft - bkla'k, -у* = соответствующих двойственной об-
ратной задаче. Для вещественных ?
<б-42>
4(т)=^'№-Ф) = -^1(^)(_^)*- <6.43)
При k = 1 N получим
% = -Цг/*(Ф.ф)=--Цг \ (*)•( Ю dx, (6.44) yкЧ уk4 -iv6r/ \-bhk
b\k = -уг ?/*(ф, Ф) - ~~ h (Ф, Ф) j =
Наконец,
$;* = -ЦгЫФ, Ф) =-1- \ (6:) ( dx> (6-46)
УкЧ Ук*к -со V 6г / V ~ 4>i Л*
k = 1,..., N. Кроме того,
6Yк = 77г (ф, Ф) - 77- h (ф. ф) j =
-7iC)H(-'),,-§(4)Ь ""
Вновь заметим, что изменение данных рассеяния 5+ выра-
жается как внутреннее произведение вектора (б<7, бг)г и квадратов
210
6. Обратное преобразование рассеяния
двойственных собственных функций
г2\ / m2
'¦Ч^Ч-ЗХ-*-¦*-(-д.-*-¦ *
fK4X' *~*(-"Х- *
Ч-Й-М-Й-
? вещественное j. (6.48)
Обозначение 4м для квадратов двойственных собственных функций
используется потому, что они являются и сопряженными (adjoint)
собственными функциями.
6.4. Квадраты собственных функций и фурье-разложения
Квадраты собственных функций ?_ удовлетворяют уравнениям
(L -?)(?, Чг) = 0, ? вещественное или ? = (?fe, ?*), (6.49)
(L - ?) (т*. ?*) = (?*, V*), ? = (?*, ¦?*), (6.50)
ОО оо
-Ж-2 q\dyr -2 q\dyq
2т jj dyr + 2r ^ dyq
(6.51)
Эти выражения находятся непосредственно из (6.16) после умножения двух
уравнений на фь ф2 соответственно. При этом
сю
используется соотношение ф^ = - ^ (фф^ + тф^) dx. Ока-
X
зывается, что квадраты двойственных собственных функций Е+ удовлетворяют
сопряженным уравнениям
(LA - ?) (4м, 4м) = 0, ? = (?*, ?*), ? вещественное (6.52)
(?л - Е) (%Ь %i) = (П Щ), Е = (Е*. Б"), (6.53)
6.4. Квадраты собственных функций и фурье-разложения 211
где
М= -
L 2 i
д
дх
- 2 г ^ dyq
- ОО
X
-2q jj dyq
2г ^ dyr
- ОО
X
+ 2q ^ dyr
д
дх
(6.54)
Используя эти уравнения, можно вычислить различные внутренние
произведения вида
(u, v) = ^ и ¦ v dx
собственных функций Е- и собственных функций Е+. Соответствующие
результаты приведены в приложении А. После получения этих выражений
соотношения (6.35) - (6.40) и (6.42) -
(6.47) могут быть обращены. Это дает выражения для (бг, -бq)T и (бq,
бг)т через Е+ и Е_ соответственно.
Доказательство того, что Е+ и Е- образуют базис в пересечении L(1) и всех
непрерывно дифференцируемых функций, было получено Каупом [6.64]. До сих
пор не доказано, что каждое из этих множеств по отдельности образует
базис в L(1)f)A(2> или L(1). Из (6.35) - (6.40) и (6.42) - (6.47), а
также из соотношений для внутренних произведений (6А.1) - (6А.9)
вытекает, что коэффициенты выражений для (бг,-бq)T и (8q,8r)T являются
просто вариациями данных рассеяния 5_ и 5+ соответственно. Из соотношений
+ оо
- оо 4-00
\ (9ф| + (-0(-ф2))^ = (ф1ф2)"оо
- оо
можно выразить (r,q)T и (q,-г)т через базисы Е+ и ?_ соответственно.
Найдем
( _ t,)" - ^ 1 [S (I) - Чт) Ц "I +
N N
+ 2i ? бtkxi) + 2i ? (вр*^ + h бШ), (6.55)
212
6. Обратное преобразование рассеяния
' ' - оо
N N
- 2/ Yj -f Yft ?>Zk*k) - 2/ 2] + Yft б?л). (6-57)
