Солитоны - Буллафа Р.
Скачать (прямая ссылка):
представлению Даламбера решений линейного волнового уравнения. И те и
другие распространяющиеся профили, которые теперь разделены, существенно
искажаются совместным действием нелинейности и дисперсии. Эволюцию именно
этих профилей описывает уравнение (6.1). Существует много естественных
постановок, в которых возникает подобная динамика: длинные внутренние
волны в тяжелой жидкости [6.5]; ионно-акустические волны в холодной
плазме [6.6]; волны вихрей [6.7]; продольные колебания соударяющихся
массивных частиц [6.8]. Уравнение (6.1) привлекло внимание Забуски и
Крускала [6.3] при исследовании решеток и результатов Ферми - Пасты -
Улама [6.9] о теплопроводности твердых тел.
Второе уравнение, к которому был применен метод обратного преобразования
рассеяния, носит такой же универсальный характер. В замечательной работе
1972 г. Захаров и Шабат [6.10] показали, каким образом нелинейное
уравнение Шрёдингера
4t - "7** ± 2/<7У = 0 (6.2)
включается в формализм этого метода. Эти авторы широко использовали идеи
Лакса [6.11], который переформулировал первоначальные результаты ГГКМ на
операторном языке и нашел несколько интегрируемых уравнений в семействе
уравнения Кортевега - де Фриза. Универсальное уравнение (6.2) было
получено несколькими авторами в конце пятидесятых и начале шестидесятых
годов в различных задачах; оно описывает медленную пространственную и
временную эволюцию огибающей $1е(Я- cgT), е2Т] почти монохроматического
цуга волн в слабо Нелинейной, сильно диспергирующей среде (X, Т -
вещественные пространственные и временные переменные, cg - групповая
скорость) [6.12-6.16]. Весьма общий вывод нелинейного
196
6. Обратное преобразование рассеяния
уравнения Шрёдингера содержится в [6.16] и [6.17]. Оно возникает всюду,
начиная с задач о модуляции высокочастотных электромагнитных колебаний в
средах, в которых коэффициент преломления зависит от амплитуды, и кончая
задачами о расплывании огибающей волн в глубокой тяжелой жидкости.
Следует отметить, что в неодномерной ситуации волны с линейным законом
дисперсии со = с|к| являются сильно диспергирующими; вектор групповой
скорости зависит от направления к, и тензор д2а/dkrdks не равен нулю.
Одним из наиболее ярких приложений уравнения (6.2) оказывается задача о
волнах в глубокой тяжелой воде. Можно показать, что если в (6.2)
получается знак минус, то монохроматический цуг волн q = q(t) неустойчив
относительно пространственных возмущений (неустойчивость была впервые
открыта Бенджамином и Фейром
[6.18]), и цуг волн распадается на разделенные локализованные импульсы. В
некотором смысле это дает объяснение факта, известного всем занимающимся
серфингом - каждая десятая (седьмая, одиннадцатая) волна - наибольшая.
Представим себе следующий эксперимент. Пусть на поверхности воды
периодическим образом колеблется лопатка (скажем, так, что фурье-спектр
колебаний содержит несколько разных частот). Она возбуждает несколько
волновых пакетов (ширины е) с различными средними частотами. Так как
система сильно диспергирующая, то пакеты распространяются с различными
групповыми скоростями и разделятся за время порядка е-1. На временах
порядка е~2 на каждый пакет одновременно влияют дисперсия (которая
стремится разделить пакет) и нелинейность (как и в случае слабо
нелинейного осциллятора, нелинейность проявляется в автомодельных
взаимодействиях третьего порядка, со + со - (0 = (c), с интенсивностью ~
е2). Огибающие пакетов q{x,t) модулируются согласно уравнению (6.2).
Через некоторое время начальная огибающая ^ (лг, 0) распадается на серию
солитонов
q (х, t) =
- 2ц sech 2ri (0О - трс - 41^/) ехр (-2/Ф0 - 4/ (I2 - ц2) / - 2i|x) (6.3)
(где параметр ? = ? + й] есть одно из тех комплексных собственных чисел,
которые обсуждались выше) и излучение, которое диспергирует и затухает.
Мы предполагали, что возбуждения имели конечную продолжительность. В
случае непрерывных возбуждений солитоны перегруппируются в почти
монохроматическую волну, из которой опять отщепятся солитоны, и этот
процесс будет продолжаться [6.19]. Уравнение (6.2) является в некотором
смысле более каноническим, чем уравнение (6.1). Уравнение (6.2)
неприводимо, в то время как если дисперсия преобладает над нелинейностью,
почти монохроматическое решение (6.1) эволюционирует согласно (6.2).
6.1. Общие замечания
197
После того как Захаров и Шабат показали, что метод ГГК.М применим не
только к уравнению Кортевега - де Фриза и его эффективность не является
просто счастливой случайностью, 'было вновь исследовано много других
уравнений, обладающих важным свойством, общим с уравнениями (6.1) -
(6.2)-наличием бесконечного набора интегралов уравнения. Вскоре Вадати
было проинтегрировано модифицированное уравнение Кортевега - де Фриза,
<7/ + 6 д2дх + дххх = 0, (6.4)
а Абловицем, Каупом, Ньюэллом и Сегуром (АКНС) [6.21 - 6.23], Лэмом
[6.24], а несколько позже и Фаддеевым и Тахтад-дкяном [6.25] было
проинтегрировано уравнение
