Солитоны - Буллафа Р.
Скачать (прямая ссылка):
на собственные значения, классифицируются в соответствии с характером
дисперсионных соотношений. Особый интерес представляют такие классы
уравнений, которые интегрируемы, но для которых нет сохраняющихся величин
или для которых спектр вспомогательных линейных задач не инвариантен.
Наиболее существенные моменты теории демонстрируются на нескольких
примерах: нелинейное уравнение Шрёдингера, задача о распространении
когерентного импульса, уравнение sine-Gordon. В заключение
рассматривается теория сингулярных возмущений для оценки эффектов
возмущений на длинных временах. Последние исправления и добавления
содержатся в разд. 6.12 и 6.13 и отражают некоторые недавние достижения.
6.1. Общие замечания
Одним из наиболее значительных достижений математической физики за
последние десять лет явилось открытие Гардне-ром, Грином, Крускалом и
Миурой (ГГКМ) [6.1, 6.2] и За-буски и Крускалом [6.3] нового нелинейного
преобразования и солитонов. Это преобразование (обратное преобразование
рассеяния) полностью аналогично преобразованию Фурье в линейных задачах.
Более точно, оно преобразует зависимую переменную, удовлетворяющую
данному уравнению в частных производных, в набор новых переменных,
эволюция которых во времени описывается бесконечной последовательностью
обыкновенных дифференциальных уравнений. Для специальных
') Эта статья была написана в апреле 1976 г.
194
6. Обратное преобразование рассеяния
классов уравнений в частных производных отвечающие им обыкновенные
уравнения разделимы и, следовательно, тривиально интегрируемы.
Новое нелинейное преобразование отличается от преобразования Фурье двумя
наиболее существенными особенностями. Во-первых, базис не фиксирован
(подобно exp(±i?x)), а изменяется в зависимости от искомого решения. Во-
вторых, спектр (а здесь мы рассматриваем уравнения в частных производных
на всей прямой) состоит не только из вещественных волновых векторов k, а
содержит и конечное число изолированных комплексных волновых векторов.
Именно эти комплексные волновые векторы порождают образования, называемые
солитонами. Последние вполне нелинейны и не имеют линейных аналогов.
Общее решение любого из упомянутых выше классов уравнений в частных
производных может быть качественно описано в терминах различных
спектральных компонент. Солитон (термин, введенный Забуски и Крускалом)
есть уединенная волна, которая локализована и имеет постоянную форму
(возможно, она содержит внутренние осцилляции). Ее важнейшая особенность
заключается в постоянстве характеристик (амплитуды, скорости, формы,
внутренних частот), не изменяющихся даже при столкновениях с какой-либо
другой компонентой решения. Эта инвариантность следует из инвариантности,
соответствующего собственного значения. Единственный эффект
взаимодействия сводится к сдвигу положения солитона по отношению к его
движению без столкновений. В случае столкновения двух солитонов фазовый
сдвиг является простой функцией двух собственных значений. (В
неинтегрируемых ситуациях, например, для уравнения Ф" - Ф** + Ф - ХФ3 =
0, уединенная волна - решение в виде гиперболического тангенса -
разрушается при столкновениях.) Компоненты в пространстве решений,
связанные с непрерывным спектром, в общем случае не локализованы, не
сохраняют форму и в силу дисперсии убывают алгебраически во времени. Это
убывание вполне аналогично поведению на больших временах линейных
диспергирующих волн. Тем не менее и в этой компоненте решений есть черты
специфически нелинейные, особенно в автомодельной области [6.4].
Одна из основных причин, вызвавших столь широко распространившийся
интерес к обратному преобразованию рассеяния, заключается в том, что
специальный класс интегрируемых уравнений включает в себя ряд
фундаментальных уравнений, которые играют центральную роль во многих
разделах математической физики. Решения этих уравнений чрезвычайно важны
для общего понимания нелинейных волновых явлений. Для того чтобы
подтвердить сказанное, перечислим некоторые из этих уравнений
одновременно с обсуждением истории развития обратного преобразования
рассеяния за последние десять лет.
6.1. Общие замечания
195
Так случилось, что метод обратного преобразования рассеяния был впервые
развит при изучении уравнения Кортевега - де Фриза
Qt + бод* + ЦХХх = 0, (6.1)
которое естественно возникает как главный член аппроксимации во всех
консервативных волновых системах со слабой дисперсией и со слабой
нелинейностью. Это уравнение было впервые предложено Кортевегом и де
Фризом для описания длинных поверхностных волн в поле тяжести, крутизна
которых мала и равна приблизительно кубу отношения глубины к длине волны.
Волна должна быть достаточно велика, чтобы проявлялись эффекты
опрокидывания. С другой стороны, глубина должна быть достаточной, чтобы
сказывалась дисперсия. Предположим, что начальное возмущение
локализованно. Первоначальное возмущение в рассматриваемой системе
разделяется на волны, распространяющиеся вправо и влево аналогично
