Солитоны - Буллафа Р.
Скачать (прямая ссылка):
и** = sin и, (6.5а)
итт - и** + sin и =0. (6.5Ь)
Д1етод, использованный в работе АКНС, был новым. Он опирался на
спектральный аналог формализма Лакса и делал все Необходимые вычисления
простыми и алгебраическими. Фактически метод естественно обобщал класс
интегрируемых уравнений и показывал, как каждое из таких уравнений
определяется дисперсионными соотношениями ассоциированных с ним линейных
задач [6.23].
' Наличие бесконечного набора законов сохранения для уравнения [6.4] было
впервые установлено Миурой [6.26], нашедшего замечательное
преобразование, связывающее решения уравнений (6.1) и (6.4). Оно имеет
место не только для этих уравнений, но и для всех высших аналогов
уравнения Кортевега- де Фриза и модифицированного уравнения Кортевега -
де Фриза [6.23]; соответствие основано на общих дисперсионных
соотношениях [6.27]. Наличие бесконечного набора законов Сохранения и
сами сохраняющиеся величины для уравнений sine-Gordon, sh-Gordon и Клейна
- Гордона были найдены Крускалом [6.28], который показал также, что эти
уравнения единственные среди уравнений вида
Utt~UXx + V(u) = 0, (6.6)
обладающие этим свойством (оказалось, что эти уравнения и единственные
интегрируемые). Уравнение sine-Gordon является простейшим уравнением типа
(6.6) (обладающим ло-ренц-инвариантностью), которое интегрируемо и имеет
соли-тонные решения (уравнение sh-Gordon не имеет солитонов). Эти
свойства указывают на связь уравнения с моделями теории поля. Уравнение
sine-Gordon встречается во многих задачах, .И в разд. 6.8 будет
обсуждено, как оно возникает в сингулярном пределе для задачи о
распространении когерентного импульса
198
6. Обратное преобразование рассеяния
[6.29]. Уравнение, которое описывает последнее явление - это уравнение
Максвелла - Блоха. Оно интегрируемо, но не обладает бесконечным набором
законов сохранения, кроме как в сингулярном пределе [6.30]. С. уравнением
sine-Gordon связана и точно интегрируемая массивная модель Тирринга
[6.31]
p2x = impl + 2igplp\p2,
Pit = imP2 - ZigPiPtfr (6-7)
Найденные в этих моделях переменные типа действия и угла позволяют
обсуждать и общие черты квантовых моделей [6.31, 6.25].
Приблизительно в то же самое время параллельное исследование
дифференциально-разностных систем было предпринято Флашкой [6.32],
проинтегрировавшим уравнения цепочки Тоды
Qntt = ехр (Qrt+1 - Qrt) - ехр (Q" - Q"_,), (6.8)
где Qn есть координата п-й частицы в решетке. Уравнения цепочки Тоды
наряду с некоторыми другими моделями чрезвычайно важны для понимания
процессов теплопроводности. Идеи Флашки были расширены Мозером [6.33],
Калоджеро [6.34], Абловицем и Ладиком [6.35, 6.36], которые развили их
для разностных уравнений в нескольких измерениях. Эти результаты могут
оказаться чрезвычайно важными в теории численного интегрирования.
Б конце 1973 г. Захаров и Манаков использовали матричные операторы
высоких порядков и нашли способ включения в формализм Лакса уравнений
трехволнового взаимодействия
^- + c/-va/=0ja;a;, (6.9)
(/, k, l - циклическая перестановка чисел 1, 2, 3). И вновь точные
решения были найдены для фундаментальных уравнений, которые являются
общими для всех слабо нелинейных систем, обладающих континуумом
диспергирующих волн. Это происходит за счет того, что квадратичные
нелинейности могут приводить к резонансу между тремя волнами с
амплитудами А/, /== 1, 2, 3, волновые векторы к, и частоты со; которых
удовлетворяют законам сохранения энергии и импульса (условиям резонанса)
ki + кэ + к3 = 0, (щ + ш2 + соз - 0. Взаимодействия подобного типа важны
для волн Россби и бароклинных волн [6.38-6.41], для внутренних
гравитационных волн [6.42], для волн в плазме [6.43] и для многих других
областей физики сплошной среды. Кауп [6.44] и Захаров и Манаков [6.45]
независимо развили обратное преобразование для этих уравнений в
одномерном случае. Близкой системой является модель, описывающая
взаимодействие длинных волн (с амплитудой
Ё.1. Общие замечания
199
А(х, /)) и коротких волн (с амплитудой огибающей B(x,t)). Уравнения
обобщают нелинейное уравнение Шрёдингера (учитывая эффекты длинных волн)
и имеют вид
^ = 25 ВВ*, = - j^-B-h iA2B - 2lSB2B*. (6.10)
Эта точно интегрируемая модель развивалась [6.46] при исследованиях новой
идеи Бенни [6.47], который предположил, что длинные волны могут
порождаться периодической нестабильностью коротких волн (вызванных,
скажем, ветром), образующей вместе с длинными волнами резонансную триаду.
Этот неполный список чрезвычайно важных уравнений пока* бывает широкую
применимость и важность обратного преобразования рассеяния. Можно с
уверенностью утверждать, что солитоны вездесущи в природе (в океане,
атмосфере, плазме, решетках, сверхпроводниках, сверхтекучих жидкостях, в
физике Элементарных частиц), по крайней мере в тех случаях, которые В
хорошем приближении одномерны. Было предпринято несколько попыток [6.48-
6.50] расширить идеи обратного преобразования рассеяния на многомерную
