Солитоны - Буллафа Р.
Скачать (прямая ссылка):
" = :'р-1/2Ф<. ' (5.97)
Ф = In (f + ig)/{f - ig). (5.98)
II. Модифицированное уравнение КдФ, обладающее реше-
нием типа ударной волны
Пусть X - 0, с0 =-6, р = - 2 и т = -t, тогда (5.92) и
(5.93) сводятся к уравнениям
{Dt. 6Dx - Dl) f • f =^0r (5.99)
(M + 2Dx)f'-f = 0, (5.100)
которые преобразуются обратно к модифицированному, уравнению КдФ с
решением типа ударной волны [5.26]
vx + 6v2vx - vxxx = 0 (5.101)
с помощью преобразования зависимой переменной
о = 1+Ф"- (5.102)
Ф = In (/'//). (5.103)
Исследуя вывод этих уравнений, мы видим, что к билинейной
форме они могут быть сведены выбором подходящих преобразований
переменных. Следуя процедуре, описанной в предыдущем разделе, разложим f'
и / в степенной ряд по параметру е
//= 1 + ef[ + е2/^ "Ь •••! (5.104)
/ = 1 + efi + е2/г + ••• (5.105)
и обычным методом возмущений определим коэффициенты раз-
ложения. У-солитонные решения этих уравнений даны в рабо-
тах [5.25] и [5.26].
188
5. Прямые методы в теории солитонов
III. Метод обратной задачи рассеяния для уравнения КдФ
Пусть ф = /'//. и=2(\п{)хх, тогда (5.92) и (5.93) преобра-
зуются к
+ ЗАл|з* + $ххх + Зиф* = 0, (5.105)
$хх 4- "Ф = А,ф, (5.107)
где с0 и р выбраны равными нулю. Уравнения (5.106) и (5.107) составляют
содержание хорошо известного метода обратной задачи рассеяния для
уравнения КдФ, найденного Гарднером с соавторами [5.27].
IV. Нелинейное преобразование Миуры
Известное преобразование Миуры [5.28], которое связывает решение
уравнения КдФ с решением модифицированного уравнения КдФ, было основным
для разработки метода обратной задачи рассеяния для уравнения КдФ [5.27].
Для К = р = Со = 0 (5.93) принимает вид
D2/-f = 0. (5.108)
Используя (XI. 2), найдем
(DV ¦ two - [in +{[in (f'/f)ir=
- 2 (In /)" + [In (Ш" + {[In (f'/f)Lp. (5.109)
Тогда (5.108) преобразуется к виду
u = (2v)2-2ivx (5.110)
с помощью соотношений
и = 2(1п/)", (5.111)
ц=( 1/20 [In (/'//)]*, (5-112)
где v удовлетворяет модифицированному уравнению КдФ
vt + 24v2vx -f- vxxx == 0. (5.113)
Уравнение (5.110) и есть преобразование Миуры.
V. Преобразование Бэклунда в обыкновенном виде
Билинейное преобразование Бэклунда может быть переписано в обыкновенном
виде с использованием потенциала
X
w = -j ^ и dx = (ln f)x (5.114)
5.5. Билинейный вид преобразований Бэклунда
189
и его производных. Для преобразования выражений (5.92) и
(5.93) с параметрами р = с0 = 0 введем новые переменные
Ф = In (/'//), (5.115)
Р = In (/'/)• (5.116)
Тогда, используя (XI. 1) -(XI.3), из (5.92) и (5.93) получим
Р**+Ы2 = А, (5.117)
Ф< + ЗАф* + <рххх + ЗфхрЛХ + (ф*)3 = 0. (5.118)
Замечая, что
Ф x = w' - w, (5.119)
р x = w' + w, (5.120)
мы можем (5.117) и (5.118) свести соответственно к
(w' + w)x + (w' - ш)2 = А, (5.121)
(w' - w)t + ЗА (w' - w)x + (w' - w)xxx +
+ 3 l(w' - w) (w' + w)x]x + [Ы - ш)3]Л = 0. (5.122)
Уравнения (5.121) и (5.122) эквивалентны преобразованию Бэклунда, впервые
обнаруженному Уолквистом и Эстабруком [5.19].
Нужно заметить, что (5.122) записано в консервативной форме. Из (5.122) и
(5.121) можно получить бесконечный набор сохраняющихся величин [5.28],
используя систематический подход, разработанный Сатсумой [5.20].
Указанная схема получения преобразования Бэклунда для уравнения КдФ
применима к уравнениям I - VII из разд. 5.4. Ниже помещены билинейные
дифференциальные уравнения и их преобразования Бэклунда, которые
получаются с использованием уравнения
[F (Dt, Dx) f' ¦ f'} // - /Г [F (Dt, Dx) f • /] = 0
и формулы обмена (5.83).
I. Уравнение Биссинеска Г5.29], Г5.301
(D2t-D2x-D4x)f.f = 0.
Г (Dt + aD2)/'./ = 0,
1 (aD,Dx + Dx + lfx)f'-f = 0,
где а2 = -3.
II. Уравнение Кадомцева - Петвиашвили [5.31], [5.32]
{DtDx+D2y + D*)f.f = 0. (5.127)
(Dy + ab2x )/'•/ = 0, (5.128)
(-aDyDx + Dt + D3x)f' -f = 0, (5.129)
где а2 = 3.
(5.123)
(5.124)
(5.125)
(5.126)
190
5. Прямые методы в теории солитонов
III. Модельные уравнения для волн на мелкой воде
(а) Dx(Dt-DtD2x + Dx)f ¦ f = 0.
| (Dl -Dx)f' =
\(3DxDt-l)f':f = iiDxr-f.
(б) [Dx (Dt - DtDl + Dx) + j Dt (Dx + 0(r))] /• / = 0, причем
DX(DX + Dl)f -f = 0.
| (Dx + 3XDx + D3X) f' -/ = 0, lDlf'-f = Xf'f + iiDxf'.f,
I [(1 -3X)Dt-D2xDt + Dx]f'
IV. Уравнения КдФ более высокого порядка [5.33]
(a) Dx(Dt + Dl)f -7 = 0.
(Dlf'-f = Xf'f,
| [Dt - Ц- XDl - Dl] Y • / = 0.
(6) [Dx (Dt + Dl)~ ! Dl (Dx + Dl)] M = 0,
причем
DX(DX + D^) f - f = 0.
(Dx +3XDx + Dl)f' - f = 0,
D2/-f = Xf'f,
(Dt + 15X2Dx + Dl) /' ¦ / = 0.
V. Уравнение Тоды [5.34], [5.35]
[b] - 4 sh2 ?)")]/•/ = 0. . j [Dt exp (- ~ ?)") - 2Я sh (1 ?>")] /'. / =
0,
I \Dt + X~x (exp (- Dn) - 1 )]/'•/ = 0.
Dtf' •> + 2ash (y?>") / ^ = 0,
• g + 2a"1 sh (]¦ Dn) f' • / = 0,
[p, sh (i- Д.) + ch A,)] g'.g = f'f,
[fc sh (1 A,) + ch (i D")]/' • / = ?'g,
(a)
(6)
(5.130)
(5.131)
(5.132)
(5.133)
(5.134)
(5.135)
(5.136)
(5.137)
(5.138)
(5.139)
(5.140)
(5.141)
(5.142)
(5.143)
(5.144)
(5.145)
(5.146)
(5.147)
(5.148)
(5.149)
(5.150)
(5.151)
(5.152)
5.5. Билинейный вид преобразований Бэклунда
