Солитоны - Буллафа Р.
Скачать (прямая ссылка):
функция F, чтобы существовало Л^-солитонное решение?" или "При каких
условиях F удовлетворяет тождеству (5.47)?"
5.5. Билинейный вид преобразований Бэклунда
Рассмотрим преобразование Бэклунда, связывающее пары решений нелинейных
эволюционных уравнений. Преобразование Бэклунда использовалось для
построения Л^-солитонных решений [5.18, 5.19] и для получения законов
сохранения более высокого порядка [5.20]. Его связь с методом обратной
задачи рассеяния обсуждалась в [5.21] - [5.24].
Преобразование Бэклунда для билинейного дифференциального уравнения было
введено в [5.5]. В предыдущем разделе мы рассматривали билинейное
дифференциальное уравнение вида
F(Dt,Dx)f-f = 0, (5.81)
5.5. Билинейный вид преобразований Бэклунда
185
для которого мы укажем теперь метод построения преобразования Бэклунда.
Метод заключается в следующей процедуре. Рассмотрим сначала уравнение
[F (Dt, Dx) f' ¦ f'} ff - ГГ (Dt, Dx) f • f] = 0 (5.82)
или подобное ему. Понятно, что если f является решением (5.81), то Г -
другое решение, и наоборот. Тогда, выполняя действия в (5.82), выведем
уравнение, связывающее Г и f- Уравнения, полученные таким образом,
являются преобразованием Бэклунда для билинейного уравнения F(Dt, Dx)f-f
= 0.
Преобразование Бэклунда линейно по отношению к каждой зависимой
переменной и может быть сведено либо к 1) новому нелинейному
эволюционному уравнению, обладающему У-соли-тонными решениями, либо к 2)
обратной задаче рассеяния для нелинейного эволюционного уравнения.
Выведем преобразование Бэклунда в билинейном виде для уравнения КдФ.
Прежде всего представим математическую формулу, являющуюся ключевой для
нахождения преобразования Бэклунда билинейного вида. Она записывается
так:
ехр (?>j) [ехр (D2) а ¦ b] ¦ [ехр (?>3) с ¦ d] =
= ехр у (?>2 - ?>3) | ехр [у (?>2 -f ?>3) +?>1]а • d] X
Х{ехр [j(D2 + D3)-Dl]c-b}> (5.83)
где Di = SiDx -f 8,Df с постоянными е,- и б г для i = 1, 2, 3. Отметим,
что в (5.83) b и d меняются местами по отношению к а и с. По этой причине
назовем ее "формулой обмена". Формула обмена легко доказывается с
использованием свойства (V).
Разлагая формулу обмена в степенной ряд по щ, ег, ¦ ¦ ¦, 83, приравнивая
члены с одинаковыми степенями и комбинируя полученные результаты, мы
найдем ряд операторных тождеств. Укажем некоторые из них, имеющие
отношение к нашей задаче:
(в!а ¦b)cd- ab (D2xc ¦d)=Dx [{Dxa -d)- cb+ad- (Dxc ¦ 6)], (5.84)
{DxDtf ¦ f') ff - f'f' (Dlf ¦ f) = 2Dx {Dtf ¦ f) ¦ ff, (5.85)
(D2/ • f) ff - ff (Dlf ¦ f) = 2 Dx (Dxf ¦ f) • ff', (5.86)
W • f) ff - ff (Dlf ¦ f) = 2 Dx (Dlf - f) • ff +
+ 6Dx(Dlf ¦ f) ¦ Dx(f ¦ f\ (5.87)
Эти соотношения будут использованы для нахождения преоб-
разования Бэклунда для уравнения КдФ-
186
5. Прямые методы в теории солитонов
Теперь рассмотрим уравнение КдФ в билинейном виде
Dx(Dt + c0Dx + Dl)f-f = 0, (5.88)
где постоянная с0 введена для последующего рассмотрения.
Пусть / и /' два разных решения (5.88). Если, преобразовав следующее
уравнение
\Рх (Dt + c0Dx + D") f . /'] ff ~ Г Г \РХ (Dt + C0DX + Dl)f-f] = О,
(5.89)
мы получим соотношение, связывающее / и /', то это и будет
преобразованием Бэклунда.
Используя тождества (5.85) - (5.87) и соотношение
Dx (Dxf' • /)' (Dxf • /') - 0, (5.90)
приведем (5.89) к виду
№ + (с0 + Щ Dx + Dllf' ¦ f) ¦ iff') +
+ 6^[(^~ "DX-K)f' ¦ /] • (.Dxf • /') =0, (5.91)
где А и p- произвольные постоянные. Следовательно, если / является
решением (5.88), то /' будет другим решением того же уравнения при
условии, что /' удовлетворяет следующим уравнениям:
[D, + (Co + 3A) D, + ^]/'•/ = () (5.92)
{D%-)iDx-k)f' = 0. (5.93)
Уравнения (5.92) и (5.93) являются преобразованием Бэклунда для (5.88).
Теперь у нас имеется преобразование Бэклунда билинейного вида. В
предыдущем разделе мы обсуждали метод нахождения N-солитонных решений
уравнений, записанных в таком- виде. Таким образом, вполне разумно
ожидать, что это преобразование Бэклунда является билинейной формой
некоторого нелинейного эволюционного уравнения, имеющего N-солитонное
решение.
Действительно, подбором подходящих преобразований -зависимых переменных
из (5.92) и (5.93) мы можем вывести два типа нелинейных эволюционных
уравнений, обладающих N-со-литонными решениями. Более того, подбором
подходящих зависимых переменных (5.92) и (5.93) преобразуются к хорошо
известной форме обратной задачи рассеяния для уравнения КдФ.
5.5. Билинейный вид преобразований Бэклунда
187
I. Модифицированное уравнение КдФ, описывающее слабо нелинейную решетку
Рассмотрим сначала случай, в котором f' и f комплексно сопряжены: f' = f
-j- ig, f = f - ig, тогда (5.92) и (5.93) сведутся к
{Dt + Dl) g ¦ f = 0, (5.94)
Dl(f-f + g-g) + Щ-f = 0, (5.95)
где мы положили p = t'a(3~1/2 и X - c0 = 0.
Уравнения (5.94) и (5.95) могут быть преобразованы обратно к
модифицированному уравнению КдФ, описывающему слабо нелинейную решетку
[5.25]
ut + баш^ + ^>и2их + иххх = 0 (Р > 0), (5.96)
если использовать преобразование зависимой переменной
