Солитоны - Буллафа Р.
Скачать (прямая ссылка):
F=a3[x3+ 12(/ + const)], (5.31)
которое вместе с условием и - 2(1п F)xx составляет решение с бесконечным
разрывом
и = _ 6* (*3 - 24t)/{x3 + 12tf. (5.32)
Для случая 2) из (5.25) имеем
N
fi = Е a-i ехр (Q,/ + PiX), (5.33)
i = {
где Qi-{-p3i = 0, р{ и at постоянны.
Подставляя (5.33) в (5.26), найдем, что вследствие свойства
(IV) D-оператора члены, подобные ехр 2(?1,7.+ pix), исключаются из
правой части (5.26). Тогда, используя (IV. 1),получим
N
/2= Е ехр(Лг/ + Л< +т]/), (5.34)
*>/
где ехр (л/) = а,- ехр (Q,/ + ptx), и
ехр(Л^) = ~ {р! + + S; +'{р, + I'jf] =(Pi-Pi?/(Pi+Pt)2- (5-35)
Подставляя (5.34) в (5.27), найдем, что вследствие свойства (IV. 4) и
соотношения (5.25) члены, подобные ехр(2тр + л*), исключаются из правой
части (5.27). Тогда
N
/з= Е ехР (Лцк + Лг + 'Л/ + Цк)- (5.36)
<>/>*
Здесь
ехр (Ацк) = ехр (Л(/- + Aik + А/к). (5.37)
В нашем случае степенной ряд оканчивается членом /дт, и мы получаем
точное решение в виде
F= Е expl Е AuHiHj + Е ИгЛ, ). (5.38)
и=о, 1 \i>i 1 /
где ? означает суммирование по всем возможным комбина-
ц=0, 1
(N)
циям из pi = 0, 1; ц2 = 0, 1; ... ; цдг = 0, 1, и ? означает сум-
i>/
мирование по всем возможным парам, выбранным из N элементов. Параметр е
содержится в константе щ. Уравнение (5.38)
вместе с ы = 2(1п F)Xx дает N-солитонное решение уравнения
КдФ [5.8].
182
5. Прямые методы в теорий солитонов
5.4. iV-солитонные решения уравнении типа КдФ
В предыдущем разделе мы преобразовали уравнение КдФ в билинейное
дифференциальное уравнение
Dx{Dt + Dl)f-f = 0. (5.39)
В этом разделе рассмотрим обобщенный вид уравнения (5.39)
F(Dt,Dx)f-f = 0, (5.40)
где F есть многочлен или экспоненциальная функция от Dt, Dx,
удовлетворяющая условию
F(Dt,Dx) = F(-Dt,-Dx), (5.41)
f(0,0) = 0. (5.42)
Повторяя процедуру предыдущего раздела, найдем, что следующий вид функции
f дает N-солитонное решение:
/ (JV) ЛГ \
/ = ? ехр( ? Лг^цу-f ? I, (5.43)
(1=0,1 \1>I i = 1 /
где
Л/ = + Ptx + Л?" (5.44)
F(Qhp,) = 0, (5.45)
ехр (Ац) = - F (Q, - Q/, Pi - Pj)/F (Q, ~+ Qj, pt -f pj) (5.46) при
условии, что выполняется следующее тождество:
(п)
? П F(<JiQt - OjQ,, diPi - 0/Р/)ст,а/=О
<j=±I \1=1 1=1 / 1>/
(5.47)
для п= 1,2, ..., N.
Заметим, что для N = 2 тождество (5.47) выполняется без каких-либо
дополнительных условий на F, что указывает на наличие по крайней Мере 2-
солитонного решения для каждого нелинейного эволюционного уравнения,
которое может быть преобразовано к обобщенному билинейному
дифференциальному уравнению (5.40).
Уравнение (5.40) может быть преобразовано обратно к обыкновенному виду
нелинейного эволюционного уравнения, используя свойства (V), (IX),
(X) и т. д. Ниже помещены нелинейные уравнения эволюции,
преобразования их зависимых пере-
менных и билинейные формы в тех случаях, когда известно, что F
удовлетворяет тождеству для произвольного N.
I. Уравнение Буссинеска [5.9]
utt - ихх - 3 (и2)хх - ихххх = 0, (5.48)
н= 2{\nf)xx, (5.49)
{D\-D\ -D4x)f-f = 0. (5.50)
5 4. N-солитонные решения уравнений типа КдФ
183
II. Уравнение Кадомцева - Петвиашвили [5.10]
utx + ауу + 6 (иих)х + ихххх = 0, (5.51)
ы = 2(1п/)", (5.52)
{DtDx + D2y + D*x) f • / = 0. (5.53)
III. Модельные уравнения для волн на мелкой воде [5.11],
?5.12]
оо
(а) ut - uxxt - 3uut Зих ^ ut dx' + их = 0, (5.54)
ы = 2 (In f)xx>. .Х (5.55)
Dx{Dt-DtD2x + Dx)f -f = 0. (5.56)
оо
(б) ut - uxxt - 4uut + 2ux ^ ut dx' +UX = 0, (5.57)
u = 2 (In f)xx, X (5:58)
[Dx (Dt - D,Dl + Dx) + | Dt (Dx + D*)] / • / = 0, (5.59)
причем
Dx(Dx + D3x)f-f = 0, (5.60)
где t - вспомогательная переменная.
IV. Уравнения КдФ более высокого порядка [5.13], [5.14]
(а) Ut Ч- 4ои их Н 15 (ихихх Ч- ахххи) Ч- аххххх = 0, (5.61)
" = 2 (In f)xx> (5.62)
Dx(Dt + Dl)f -/ = 0. (5.63)
(б) ut+30u*ux+ \0(2uxuxx + ^xxxtt) tlXXXXX o, (5.64)
u - 2 (In f)xx, (5.65)
[Dx(Dt + Dl)-jDx(Dx + D3x)]f-/ = 0, (5.66)
причем
Dx (Dx 4- Dx) f • f - 0, (5.57)
где т - вспомогательная переменная.
V. Цепочка Тоды [5.15]
|г In [ I + Vn (/)] = Vn+1 (/) + Vre_, (/) - 2Vn (/), (5.68)
Va(0 = $r-lnfn(0, (5.69)
Vn(t) = fn+imn^(/)/fl(t)-l, ¦ . (5.70)
[_D2 - 4 sh2 (Drt/2)] / • / = 0. (5.71)
184
5. Прямые методы в теории солитонов
VI. Разностный аналог уравнения КдФ [5.16]
А' I Гг'п! - ":'.ив((), (5.72)
v.v)-uwv)i..lKm.{i +!)/.(< -4)-1. (5-73)
где At - разностный оператор вида
AtF (/) = б"1 [Р (/ + 4) - Р (/ - -§-)], (5.74)
sh -j (Dn + бDt) [2б"' sh (6Dt/2) + 2 sh {DJ2)] f ¦ f = 0. (5.75)
VII. Цепочка Тоды в дискретном времени [5.17].
A? In [ 1+ Vn (/)] = Vn+l (/) + Vn-y (t) - 2Va (/), (5.76)
где
Vn (/) = 6"2ln[l +eV"(/)], (5.77)
^"(0 = /я+,(0/"-1(0//*(0-1. (5-78)
[46~2 sh2 (bDt/2) - 4 sh2 (DJ2)] f-f = 0, (5.79)
где А2 определяется как
Д]f (/) = 6-2 [F (/ + 6) + F (t - 6) - 2F (/)]. (5.80)
По-видимому, это только некоторые примеры нелинейных эволюционных
уравнений, которые обладают Л^-солитонными решениями. Для дальнейшего
изучения остается следующий вопрос. "Какому условию должна удовлетворять
