Солитоны - Буллафа Р.
Скачать (прямая ссылка):
выше.
Очевидно, что если переменная у действительно присутствует, то ситуация
более сложная (и интересная). Но даже если Y = 0 (что мы примем для
простоты в оставшейся части работы), так что зависимость от у отсутствует
и р не зависит от времени, то солитонное решение (9.37) все равно весьма
интересно. Замечательным является тот факт, что | в общем случае
нелинейно зависит от времени, т. е. в общем случае солитон движется с
переменной во времени скоростью. Действительно, несложные вычисления дают
t
Ш=Ш-2$ dt'fio(Ар2, 0 + (2р)~'1п [(Со, E(t-t0)c0)/(c0, с0)],
(9.40)
где
Е (I) = ехр { - / [<х" (Ар2) + 2(4р2)] оп} X
X ехр {/ К (4р2) - 2(Ар2)] ап}. (9.41)
Соответствующая формула для Р имеет вид
р (0 = {(Со, с0)/(с0, Е(( - /0) Со)} X ехр {(/ - /0) [а" (4р2) -
- 2(Ар2)] а"} X Р (to) ехр {- (/ - /0) [ая (Ар2) + 2рР" (4р2)] а"]}*
(9.42)
Здесь
Со -С (t0) (9.43)
определяется по начальным данным. Мы использовали соотношение
P(t) = c(t)cT(t)Kc(t), c(t)), (9.44)
вытекающее из (9.38), (9.39) и (9.6).
Для анализа поведения солитона удобно ввести специальное разложение
матрицы Е(1)
N
E(t)= ? ехр [2plk (t) Ek (/), (9.45)
k- 1
где
Ek(t)Ee(t) = heEk(t). (9.46)
Заметим, что величины t,k(t), как и проекционные операторы
Eh(t), зависят от функций ап и р", определяющих структуру нелинейного
уравнения (см. (9.25)); они зависят от начальных данных только через
зависимость от р. Временная эволюция
9.3. Нелинейные эволюционные уравнения
333
|(/) и P(t) зависит, кроме того, от начального вектора Co = c(t0) через
величины
<?*(/) = (со. Ek(t)c0)/(c0, Со). (9.47)
Точные формулы суть
m = l (to) - 2 5 at% (4р\ t') + (2р)-\X
Х1П{Е ek (t - /о) ехр [2p?fc (/ - /0)] |. (9.48)
Р (0 = { е* (t - to) ехр [2pS* (t - to)]} X
X ехр {(/ - t0) К (4р2) - 2рр" (4р2)] оп} X Р (/о) X X ехр {- (t - t0) К
(4р2) + 2рР" (4р2)] а"}. (9.49)
Так как зависимость от времени, связанная с параметром р0, относительно
тривиальна, то положим для простоты р0 = 0. Рассмотрим следующие два
специальных случая.
Сначала положим Р"(4р2) -0. Тогда E(t) = 1, l(t) - l(t0),
и солитон будет покоящимся (если р0(4р2, /) = Ро(4р2) Ф 0, то
он бы двигался с постоянной скоростью).
Следующему случаю отвечает
К(4р2)ст", Pm(4p2)am] = 0. (9.50)
При этом подразумевается, что в этот случай включается ситуация, когда
все ал(4р2)=0, но исключается Р"(4р2) = 0, что было рассмотрено выше.
Тогда
?*(/) = -2/Р'" k=\ N, (9.51)
где P(ft) - собственные значения матрицы рл(4р2)оп- Если начальные
условия были таковы, что
е*(0) = в*|, (9.52)
то солитон будет двигаться с постоянной скоростью
6 (/) = 6 (М - 2 (/ - (9.53)
В более общем случае, ei(0)^0 и ^(0)^=0, при больших |/| получим
?(/) = - 2 (/ - to) Р(1) + г (to) + (2рГ1 In [ех (0)] +
+ О {ехр[- 4/р(р<2' - Р(1))]}> /-*> + ", (9.54а)
g (/) = - 2 (/ - to) pw + I (t0) + (2p)-1 In (eN (0)] +
+ О {exp [4fp(p<"> - ftN-'>)]}, /-*> - oo. (9.54b)
334
9. Нелинейные эволюционные уравнения
Мы предполагаем, что р" вещественны и, следовательно, р(*> также
вещественны и упорядочены в порядке возрастания р(*) <; p(*+i) (если нет
совпадений). Таким образом, в этом случае солитон движется асимптотически
с постоянной скоростью. Если p(w> > 0 > р(1), то при t -*¦ -(- оо он
движется направо, а при t-*-оо он опять же движется направо. Подобное
поведение солитона и послужило основанием для введения термина "бумерон"
[9.3].
Возвращаясь к общему случаю, заметим, что если ап мнимые и pv
вещественные, что необходимо для эрмитовости Q при всех t, то в системе
координат, двигающейся со скоростью ро(4р2, t), солитоны, уходящие на
бесконечность, движутся асимптотически с постоянной скоростью. В
последующем примере будет продемонстрирован случай, когда солитоны
действительно уходят на бесконечность с асимптотически постоянной
скоростью или осциллируют неопределенно.
Аналогично тому как получаются односолитонные решения, строятся
многосолитонные решения. Приведем точную формулу для двухсолитонного
случая:
Q(x, у, /) = - Wx(x, у, /) (9.55)
W(x, у, /) = - 2(Pi+p2)[l - PTiT2]_1 • [т^ + ТаРа- х)х2{Рь />2}],
(9.56)
= [Pk/(Pi + Ри)1 ¦ {1 - th [рк (х - g*)]}, k=l, 2. (9.57)
В этих уравнениях величины ?* = ?*(у, 0 и Pk = Pk(y, t) следует
интерпретировать как "положение" и "поляризацию" k-ro солитона,
характеризуемого положительным параметром рк. Временная эволюция этого
параметра дается в точности теми же уравнениями, которые приводились и
обсуждались выше, если в них заменить р на рк. Скалярная функция р = р
(у, t), входящая в (9.56), определяется одним из следующих двух
эквивалентных уравнений:
РЛ = /УУ>" (9.58а)
р р2=р2р{р2. (9.58Ь)
9.4. Уравнение бумерона и другие интегрируемые
нелинейные уравнения, связанные с ним; бумероны
Простейшим новым НЭУ в классе, описанном выше, является уравнение,
отвечающее случаю N - 2, р0 = Y - 0, рл константы, п *= 1, 2, 3. Удобно
положить bn - 2р", an = 2ian и
+ оо
U (х, 0 + onVn {х, 0=5 dx'Q (х'> $
X
9.4. Уравнение бумерона
