Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Буллафа Р. -> "Солитоны" -> 132

Солитоны - Буллафа Р.

Буллафа Р., Кодри Ф. Солитоны — М.: Мир, 1983. — 408 c.
Скачать (прямая ссылка): solitoni1983.pdf
Предыдущая << 1 .. 126 127 128 129 130 131 < 132 > 133 134 135 136 137 138 .. 156 >> Следующая

другие имеют "высшие аналоги" (10.2), допускающие представление Лакса с
тем же ассоциированным оператором L.
Хотя, как правило, только исходное эволюционное уравнение (10.1)
представляет физический интерес, существование высших аналогов
оказывается весьма важным для построения решений. Будем рассуждать
следующим образом: мы хотим отыскать решения исходного уравнения (10.1) .
Для этого мы рассмотрим стационарные решения любого из его высших
аналогов
т
"= Z cqKq\u] =0. (10.4)
<7=1
Поскольку все системы (10.2) коммутируют, множество стационарных решений
(10.4) инвариантно относительно потока
(10.1) на любом трансляционно инвариантном классе функций. Если мы
явно решим стационарное уравнение (10.4) для некоторого аналога (10.1) и
найдем на этом множестве функций
350
10. Метод решения периодической задачи
динамику исходной системы (10.1), то мы получим класс точных решений
исходной системы.
При т-*- со класс решений уравнений (10.4) увеличивается.
Определение 10.2. Мы скажем, что семейство эволюционных систем (10.2)
полно для периодической задачи, если множество периодических решений
уравнений (10.4) при всевозможных константах {cq} плотно в пространстве
всех непрерывных периодических функций от х.
Аналогичное понятие полноты может быть введено для других трансляционно
инвариантных классов функций. Совершенно ясно (хотя это и не было строго
доказано в упоминавшихся выше работах), что для уравнения КдФ семейство
его высших аналогов полно для периодической задачи. Однако оно не
является полным для класса быстро убывающих функций, для которого и был
открыт Гарднером и др. [10.4] метод обратной задачи рассеяния.
Оказывается, что существование полных семейств эволюционных систем,
ассоциированных с некоторым оператором L, позволяет не только находить
решения системы (10.1), но и эффективно решать обратную задачу для L.
Наша идея изучения уравнения (10.1) и оператора L требует решения
следующих задач:
1) Как решать стационарные уравнения (10.4)? Будут ли эти конечномерные
динамические системы вполне интегрируемыми?
2) Каковы спектральные свойства оператора L, коэффициенты которого
удовлетворяют стационарным уравнениям
(10.4)?
10.2. Конечнозонные линейные операторы
Рассмотрим оператор L порядка k с коэффициентами, периодическими с
периодом Т. Выберем базис (фь ..., фл) решений уравнения Аф = Еф с
начальными условиями в точке х = х0, например, вида
<Pi(*o)=l. ф№) = 0. Kq<k-l, ?/-"(х0)=1,
Ф/?) (*о) = 0> -
Базис q>j(n,no,E) также может быть определен в дискретном случае, если
решение уравнения Аф = Еф определяется начальными значениями в k соседних
точках п0, п0 + 1 п0 + k- 1.
С оператором L ассоциируются обычно следующие объекты:
а) матрица трансляции (монодромии) Гфу (#, *р, Е) = ф. (х+Г,
k
*Q, ?)= Z "o(*Q. Е) фу {X, xQ, Е), f = (а<;);
10.2. Конечнозонные линейные операторы
351
Ь) блоховские собственные функции (или функции Флоке), такие, что Уф/
= р,(?)ф/, где р;(?)- собственные значения матрицы Т, не зависящие от Хо.
Если L = -d2/dx2 -f- и(х), то <р(х, х0, Е) обычно обозначается через
С(х,х0,Е), а ср2(х,х0,Е) - через S(x,Xo,E). Если ру(?) = = ехр (±фГ), где
р1 = ехр(фГ), р2 = ехр {-ipT), то р(Е) называется квазиимпульсом, а
зависимость Е = Е(р)-законом дисперсии.
Нормируем блоховскую функцию требованием ф± = 1 при х = х0; функция ф±(х,
х0, Е) ограничена по модулю, если р(Е) вещественно. Такие отрезки на оси
Е называются разрешенными зонами, зонами устойчивости или спектром
оператора L в L2(-оо,оо); дополнительные к ним промежутки называются
лакунами. Для двух решений Lcp = Еср, Еф = Еф вронскиан Ц7(ф) ф) = фф' -
фф7 является сохраняющейся величиной: W' = 0. Поэтому матрица Т
унимодулярна.
Справедлива простая
Лемма 10.1. Для оператора Шрёдингера L - -d2/dx2 + и(х) блоховские
собственные функции ф±(х, Е) однозначны и меро-морфны по Е на римановой
поверхности Г, двулистно накрывающей Е-плоскость и ветвящейся во всех
концах разрешенных зон Е/. Полюсы функции ф±(х, х0, Е) не зависят от х и
располагаются на Г в точках Qj(xо) = (у/, ±) по одному над каждой лакуной
конечной длины (или над ее концами) только на одном из листов ±. Нули
функции гр+ расположены в точках СМх) на Г. При Е ->- оо мы имеем
асимптотически ф± (х, х0, Е) ~
~ ехр [± I л/Е(х - *0)].
Это утверждение, по существу, тривиально; мы сформулировали его,
поскольку до работ по теории уравнения КдФ указанная важная связь с
римановыми поверхностями не играла серьезной роли в теории уравнения
Штурма - Лиувилля (Шрёдингера) с периодическим потенциалом и(х). Риманова
поверхность Г имеет естественную проекцию на Е-плоскость я: Г->-С.
Обозначим функцию ф+(х, х0, Е) через ф(х, х0, Р), где Р - точка Г. Точки
Р/, ] = ± из прообраза я-1 (Е) = (Р+, Р-) дают базис решений ф+, ф_ для
данной энергии Е. Из условия Гф = р(?)ф получаем, что логарифмическая
производная d In ф/dx = i% (х, Е) не зависит от х0 и периодична с
периодом Т.
Все эти свойства приводят к естественному обобщению блй-ховских функций
Предыдущая << 1 .. 126 127 128 129 130 131 < 132 > 133 134 135 136 137 138 .. 156 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed