Солитоны - Буллафа Р.
Скачать (прямая ссылка):
возможные типы солитонов: солитоны типа бумеронов (?(/)-> + оо,/-"- ±оо),
неподвижные солитоны (?(/)= ?о), осциллирующие солитоны и солитоны,
движущиеся с постоянной скоростью, - в зависимости от параметра формы р
(в особенности от того, превышает он или нет величину а/(2Ь)) и
поляризации каждого солитона. Солитонам, неподвижным и движущимся с
постоянной скоростью, отвечает множество начальных условий, имеющее
меньшую, чем для остальных типов, размерность. Наличие осциллирующих
солитонов требует, чтобы для исходного уравнения были выполнены условия
а-Ь -0, поскольку такое поведение характерно только для этого случая.
Уравнения бумерона (9.59) содержат и другие специальные классы
интегрируемых НЭУ. Интересным примером служат уравнения, отвечающие
следующей редукции: если вектора а и b ортогональны и вектор V
первоначально ортогонален а, то он остается ортогональным а:
из а • b = 0 и а • V (х, t0) = 0 следует а • V (х, t) = 0. (9.87)
Тогда в этом случае можно положить
b • V {х, t/b) = - Y (х, (), (9.88а)
(b X а) • V {х, t/b) = Z {х, t) - [a/(2b)\, (9.88Ь)
Ux (х, t/b) = - У, (х, t) - Z2 (x, t) + [a/(2b)f. (9.88c)
Для величин У и Z получим систему уравнений в частных производных
Yu (х, t) - Y хх {х, t) = - [Z2 (х, t)h, (9.89а)
Zxt (х, t) = 2YX (x, t) Z (x, t). (9.89b)
Эти уравнения интегрируемы обратным спектральным преобразованием, так как
они связаны с особым случаем уравнения бумеронов (9.87) при специальных
начальных данных
Z (х, /0) = Z0 _(*), У (х, /0) = Т0 (х), Yt (х, t9) = W (х), (9.90))
которые должны удовлетворять условиям Z0x{± оо) = У0(+ оо) = У0л(±оо) =
Г(+оо)==Гл(± оо) = 0.
(9.91)
342
9. Нелинейные эволюционные уравнения
Решения этих уравнений обладают всем богатством поведения, описанным
выше.
Заметим, что нелинейные эволюционные уравнения (9.89), кроме временной и
трансляционной инвариантности, не изменяются также масштабным
преобразованием
/ -> тф, х-^-цх, Y ->Y/i\, Z->Z/r] (9.92)
и дискретным преобразованием
Z{x, t)-y-Z{x, t). (9.93)
В заключение заметим, что дифференцируя (9.89а) по х и используя (9.89Ь),
получим интригующее нелинейное уравнение в частных производных для
единственного поля Z(x,t):
(d2/dt2 - д*/дх2) (ZJZ) + 2 (Z2)xt = 0. (9.94)
Задача Коши для этого уравнения, следовательно, также разрешима с помощью
обратного спектрального преобразования. Начальные условия для этого
уравнения
Z(х, /0) = Z0(x), Zt(x, t0) = Zi(x), Ztt(x, t0) = Z2(x), (9.95)
удовлетворяющие условиям (которые не необходимы)
%о(х) Ф 0, Z0x(± oo) = Zlx(± oo) = Z2x(± оо) = 0, (9.96) обеспечивают
разрешимость задачи Коши.
9.5. Преобразования Бэклунда
Используя произвольность f и g, М и N в основных формулах, полученных
непосредственно из (9.11), (9.12), можно заключить, что если матрицы-
потенциалы Q(x) и Q'(x) связаны соотношением
Яц (A) [cr^Q (х) - Q' (х) cxj + 6Й (Л) ГсХц = 0, (9.97)
то соответствующие им коэффициенты отражения R(k) и R'(k) удовлетворяют
уравнению
R' (k) = (К (~ 4*2) + 2(- 4k2)] oj R (k) X
X {["Л- 4*2) - 2ikK (~ 4&2)] (Тц}_1 (9.98)
Операторы Л и Г в (9.97) определяются с помощью (9.13), (9.14), функции
ац и 6ц произвольны (лишь бы соответствующее выражение в (9.97) имело
смысл; например, достаточно, чтобы они были целыми). Следует подчеркнуть,
что функции ац и 6ц могут зависеть от произвольных дополнительных
переменных, таких, как t, но должны быть независимы от х.
Важность формулы (9.97) заключается в том, что она дает точную, хотя и
сложную связь между двумя потенциалами, для
9.5. Преобразования Бэклунда
343
которых коэффициенты отражения связаны простой линейной формулой (9.98).
Предположим, что матрица Q(x,t) удовлетворяет нелинейному эволюционному
уравнению (9.25) и матрица Q'(x,t) связана с ней соотношением (9.97), где
а^ и bц не зависят от t и у. Если для всех г выполнено
К. (2) ап (z) + zpm (z) bn (z)] [am, an] = 0, (9.99a)
K. (2) ba (z) + pm (z) an (z)] [orm, an] = 0, (9.99b)
то из (9.98) вытекает, что связь R'(k,t) с R'(k,to) такая же,
как и связь R(k,t) с R(k,to). Но последняя временная зависи-
мость R'(k,t) соответствует уравнению (9.25) для потенциала Q'(x, t).
Значит, если матрица Q{x,t) удовлетворяет уравнению
(9.25) и Q'(x,t) связана с ней формулой (9.97) (с а^ и fy, не
зависящими от t и у и удовлетворяющими (9.99)), то Q'(x,t) удовлетворяет
тому же самому уравнению (9.25).
Преобразование (9.97) с условиями (9.99) будет называться преобразованием
Бэклунда. Следует подчеркнуть еще раз произвольность функций Цц и Ьп,
удовлетворяющих единственному ограничению (9.99). Дополнительные
ограничения могут возникать, если требовать, чтобы специальные свойства
матрицы Q(x,t), например ее эрмитовость, сохранялись при преобразовании
Бэклунда. Далее мы ограничимся подклассом преобразований Бэклунда,
отвечающих условиям ап - Ьп = 0. Для удобства обозначений положим а о =
f, bo = g. При этом преобразование Бэклунда запишется в форме
f(A)[Q(x, l)-Q'(x, l)]+g(A)T = 0, (9.100)
