Солитоны - Буллафа Р.
Скачать (прямая ссылка):
(различающимися на конечную или бесконечно малую величину, см. ниже),
такой, что соотношения между коэффициентами отражения особенно просты.
Аналогичные соотношения, связывающие коэффициенты прохождения и (или)
характеристики дискретных спектров, могут быть получены подобным же
образом. Однако они несущественны с интересующей нас здесь точки зрения.
Все формулы для параметров дискретного спектра (некоторые из них
действитель'
9.3. Нелинейные эволюционные уравнения
827
но существенны для дальнейшего) могут быть получены из соотношений для
коэффициентов отражения, если ограничиться потенциалами, убывающими
быстрее экспоненты, поскольку параметры дискретного спектра в этом случае
даются (9.7). Формулы, полученные таким способом, несомненно, справедливы
для более общего случая.
9.3. Нелинейные эволюционные уравнения, интегрируемые обратным
спектральным преобразованием;солитоны
Предел Q'-+Q. Введем зависимость потенциала от новой переменной, скажем
у, заменой
Q(x)-^Q(x, у), Q'(x)-^Q(x, у + Дг/). (9.16)
Отсюда несомненно следует, что от у будут зависеть и величины
R(k) = R(k,y), R'(k) = R(k, у+ by). (9.16)
Подставляя эти выражения в уравнения предыдущего раздела, в пределе Ау->-
0 получим Q = Q' = Q(x, у), а операторы Л и Г перейдут в операторы L и G,
определяемые следующим образом (F(x) есть произвольная матричная функция,
убывающая при *-> + оо; в выражениях мы опускаем явную индикацию
зависимости всех функций от переменной у) :
+ оо
LF (х) = Fxx (х) - 2 {Q (х), F (*)} + О J dx'F (х'), (9.17)
X
GF(x) = {Qx(x), F(*)} + ^Q(jc), J dx'[Q(x'), F (*')]].¦(9.18)
Полагая в (9.11) M = 1/А у и М = ап, а в (9.12) N *= а^, получим
следующие три формулы:
+ оо
2ikf(-4k2)Ry(k, у)- J dx4{x, k, y){f(L)Qy{x, y)}W{xt k, y\
(9.19)
2^/n (- 4k2) [cr", R(k, y)]~
+ oo
= J dx4!{x, k, y) {f" (L)[an, Q(x, ?)]}?(*, k, y). (9.20)
- OO
(21 k)2 (- 4k2) {отй, R (k, y)} (tm)
+ oo
- J dxW(x, kt y){g"(L)Oa^(x, k, y). (9.21)
328
9. Нелинейные эволюционные уравнения
Здесь f, fn и gn суть произвольные целые функции; они могут зависеть
параметрически от дополнительных переменных, таких, как у, но они должны
быть независимы от х. Вывод, который мы сейчас наметили, показывает, что
соотношения (9.20), (9.21) остаются справедливыми, даже если в них не
предполагать суммирование по п и р (от 1 и от 0 до JV2 - 1
соответственно). Однако ввиду произвольности функций fn и gp, отказ от
этого суммирования не дает никакой дополнительной общности.
Нелинейные эволюционные уравнения, интегрируемые обратным спектральным
преобразованием. Предположим, что Q (и, следовательно, R) зависит
параметрически от нескольких переменных; обозначим одну из них через t
("время"), а остальные через ЛТмерный вектор у:
Q = Q(x, у, /), /? = /?(&, у, 0- (9-22)
Представим, что (9.19) записано с заменой у на t или на любую компоненту
у, в каждом случае с произвольными и различными функциями /. Из этих
уравнений и из (9.20), (9.21) непосредственно вытекает следующее: если
матрица-потенциал Q(x,y,t) удовлетворяет нелинейному уравнению
/о а- У. OQt = 2Po(Z., у, t)Qx+an{L, у, /)К> Q] +
+ р" (L, у, 0 Gon + у (L, у, 0 ¦ - Q, (9.23)
то соответствующий коэффициент отражения R(k,y,t) удовлетворяет линейному
дифференциальному уравнению в частных производных
f0(-4k2, у, t)Rt = an(-4k2, у, t) [ст", /?] +
+ 2ik$v (- 4k2, у, t) {ctv, R) + Y (- 4k2, y, t) • R. (9.24)
В дальнейшем мы ограничимся для простоты случаем /0 = 1, чтобы сходство
(9.23) с привычными НЭУ было более наглядным. Более того, мы будем
предполагать, что функции р", ап (целые, а в остальном произвольные) не
зависят от у и t, а функции р0 и у не зависят от у. Тем самым мы
ограничимся случаем нелинейных эволюционных уравнений вида
Qt (х, у, t) - 2р0 {L, t)Qx{x, у, t) + an{L)[an, Q{x, у, /)]+
+ р" (L) Gon + у (L, 0 • Q (*, У, 0 (9.25)
и покажем, в частности, как с помощью обратного спектрального
преобразования можно решить задачу Коши с начальными условиями
Q(x, у, t0) = Qo{x, у). (9.26)
Здесь Qo(*, у) - заданная матричная функция, стремящаяся к нулю при х-*-
+ оо.
9.3. Нелинейные эволюционные уравнения
329
Пусть Ro{k,y) - R{k,y,to)-коэффициент отражения, соответствующий Q0{x,
у). Для его определения необходимо решить прямую задачу Шрёдингера. К
тому же известно, что если Q{x,y,t) эволюционирует согласно (9.25), то
соответствующий коэффициент отражения удовлетворяет линейному уравнению
Ri (k, У, 0 = 4/&0J (- 4k2, t)R(k, у, /) + ап (- 4k2) [ст", R (k, у, /)]
+
•:-2/Лр"(-4Л2){ап> R(k, у, /)}+V(-4fe2, t)--^-R(k, у, /). (9.27)
Это уравнение, которое легко может быть проинтегрировано, вместе с
приведенным выше начальным условием позволяет получить точную формулу
R(k, у, /) = ехр ^4г'& ^ dt'$a (- 4k2, О j X
X ехр {(/ - /0) К (- 4/г2) + 21Щп( - 4k2)) оп) X
XtfojV У+ \dt'y(-4k, ojx
X ехр {(/ - /0) [- ап (-4k2) + 2ik$n (- 4k1)) оп). (9.28)
Зная коэффициент отражения R в момент t, который дает эта формула, можно,
решив обратную задачу (см. разд. 9.1), восстановить потенциал Q в момент
