Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Буллафа Р. -> "Солитоны" -> 120

Солитоны - Буллафа Р.

Буллафа Р., Кодри Ф. Солитоны — М.: Мир, 1983. — 408 c.
Скачать (прямая ссылка): solitoni1983.pdf
Предыдущая << 1 .. 114 115 116 117 118 119 < 120 > 121 122 123 124 125 126 .. 156 >> Следующая

Условие а) весьма существенно, поскольку во многих случаях потенциал U
(х) оказывается не эрмитовым. В настоящее время остается открытым вопрос
о том, при каких наиболее общих условиях на потенциал обратная задача
разрешима. Рассматривались следующие три случая:
I) U диагональна (и, возможно, комплексна),
П) О = JUJ, J постоянная матрица, Я - 1,
П1) U* = JUJ, J постоянная матрица, Я = 1.
Первым существенным моментом анализа этих случаев является определение
вронскиана. Хотя при этом нужны некоторые дополнительные предположения,
рассуждения, аналогичные предшествующим, представляются верными. Случай I
изучался для 2 X 2-матрицы, связанной с уравнением (8.41). Хочется
добавить, что следовало бы изучить случай периодических граничных
условий.
8.3. Метод обратной задачи рассеяния и интегрируемые уравнения
Пусть задано нелинейное эволюционное уравнение вида
Ut=S{U}, (8.27)
где S - нелинейный оператор, а матричная функция U(x,t) имеет размер
my(,m. Предположим, что можно выбрать для
316
8. Обобщенная матричная форма метода
оператора L, линейного по U, такой матричный оператор В, что (8.27)
запишется в операторной форме
Lt - [B, L] = BL - LB. (8.28)
Вместо того чтобы решать (8.28), рассмотрим задачу на собственные
значения
7д|> = Яф, (8.29)
собственные функции которой изменяются во времени по формуле
ф, = Вф. (8.30)
Из эволюционных уравнений для L и ф легко следует, что собственные
значения К не зависят от времени, т. е.
Я, = 0. (8.31)
Таким образом, нелинейные уравнения (8.27), эквивалентные уравнениям
(8.28), эквивалентны в свою очередь набору уравнений (8.29) -(8.31).
Исследование обратной задачи для (8.29) показывает, что матричная функция
U(x,t) может быть восстановлена по данным рассеяния. Зависимость данных
рассеяния от времени определяется из (8.30) при стремлении
х ± оо. Эта процедура нахождения решений системы (8.27)
и есть обобщение метода обратной задачи рассеяния на матричный случай.
Следует заметить, что
I) если Z.+ = L, то ?+ = -В,
II) если L+ = JLJ(J+ = J, J2 - 1), то В+ = -JBJ,
III) если L - JLJ(J = J, J2 = 1), то В - -JBJ.
Беря в качестве оператора L матричный оператор Шрёдингера, можно выписать
нелинейные эволюционные уравнения, которые могут быть проинтегрированы с
помощью предложенного обобщения метода обратной задачи рассеяния. Однако,
прежде чем сделать это, отметим, что формализм Абловица - Каупа - Ньюэлла
- Сегура включается в нашу схему. Действительно, система
^L + t^1=(7(x,/)ф2, (8.32а)
^--i&2 = r(x, /)ф, (8.32Ь)
может быть переписана в виде
8.3 Метод обратной задачи рассеяния
317
Эта система принадлежит классу систем, для которых L - JLJ. Если г = а +
bq (а, Ь - константы), то эта система может быть диагонализована.
Подробности приложения к системе АКНС нашего формализма даются в [8.7].
8.3.1. Матричное уравнение Кортевега - де Фриза
Если положить
В = В2д* + Вхд + дВй В2 = const, д = -^, (8.34)
то из (8.28) с учетом (8.2) и (8.34) следует
Ut = jB2Uxxx-jB2(U2)x (8.35)
с соотношениями B2U = UB2 и 3B2U = -4ВХ. Уравнение (8.35) есть матричное
уравнение Кортевега - де Фриза. Простейший случай соответствует выбору
U (х, 1) - и(х, /), В2 = - 4. (8.36)
При этом из (8.35) получаем
Ut 6иих -j- и ххх = 0, (8.37)
уравнение, которое является хорошо известным уравнением Кортевега-де
Фриза. Если компоненты 2 X 2-матрицы U(x,t) выбрать в виде
Un{x, t) = - и2 - iux, Unix, t)=Uh{x, t),
Ul2(x, t) = u2l{x, /) = 0, u(x,t) = a(x,i) (8-38)
и положить B2 = -4/, то из (8.35) получим
щ + 6и2и* + иххх = 0. (8.39)
Это уравнение является модифицированным уравнением КдФ. В более общем
случае, если положить Un{x,t) в (8.38) равным
Un (х, /) = - (сш + р"2) - i д/р их, (8.40)
получим
ut + 6аиих -f Qfiu2ux + иххх = 0 (Р > 0). (8.41)
Это уравнение содержит и уравнение КдФ, и модифицированное
уравнение КдФ. Кроме того, оно представляет и самостоятельный интерес,
как модельное для распространения волн в нелинейной цепочке [8.8].
Можно получить различные формы многокомпонентного уравнения КдФ из
уравнения (8.35). Однако их физические приложения в настоящее время не
ясны, поэтому здесь эти уравнения не приводятся.
318
8. Обобщенная матричная форма метода
8.3.2. Матричное нелинейное уравнение Шрёдингера
Пусть задан m X m-матричный оператор В в виде
В = 2iJd2 - 2iVd - iJU, (8.42)
где компоненты постоянной матрицы У суть
У;/ = (1, i = / = 1; 1, i = j > 2; 0, i =7^ j).
Пусть матричная функция V удовлетворяет условиям V = V* и УV = -VJ.
Подстановка (8.2) и (8.42) в уравнение (8.28) дает
Vt = UVxx + 2UV3, (8.43)
U = - V2 + JUX. (8.44)
Если компоненты матрицы V выбраны так, что
Vii = qt, j - 2, ..., m, Vj\ = Qf, Vtl - 0 для остальных, (8.45)
тогда из (8.43) вытекает
i- (<7k)t + (Qk)xx + 2 ^ X QmQrnJ Qk = 0. (8.46)
Это m-компонентное нелинейное уравнение Шрёдингера. В случаях m = 1 и m =
2 оно было изучено Захаровым и Шабатом
[8.3] и Манаковым [8.9] соответственно. Эти уравнения рассматривались в
приложении к нелинейной оптике.
Предыдущая << 1 .. 114 115 116 117 118 119 < 120 > 121 122 123 124 125 126 .. 156 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed