Солитоны - Буллафа Р.
Скачать (прямая ссылка):
большие буквы. Исключением из этого правила
324
9. Нелинейные эволюционные уравнения
являются обозначения ап, п= 1, N2-1 для N2-1 эрмитовых матриц, которые
совместно с о0= 1 образуют базис в пространстве N X N-матриц. Греческие
индексы пробегают значения 0, ..., N2 - 1, латинские индексы 1, ..., N2 -
1. Предполагается, что по повторяющимся индексам всегда производится
суммирование. Латинские индексы используются как для компонент векторов,
так и для матричных элементов. Например,
N
(и, v) = v'nvn з= ? v'nvn. Коммутаторы и антикоммутаторы обо-
П~ 1
значаются так: [А,В] = АВ - ВА, {А, В) - АВ + В А. Иногда для матриц
будет использоваться диадическое обозначение vvT\ при этом W = vvT
означает, 4ToWim = viv,m.
Прямая задача. Матричная задача Шрёдингера на собственные значения
описывается линейным дифференциальным уравнением
tyxx = [Q - 62Н- (9-1)
Здесь N X М-матрица Q зависит от вещественной переменной х, а вектор f
зависит от х и k. Кроме того, обе величины могут зависеть от других
переменных как от параметров (см. ниже).
В дальнейшем всегда будет предполагаться, что матричный "потенциал" Q
убывает на бесконечности (достаточно быстро
[9.1]). Непрерывный спектр задачи на собственные значения
(9.1) определяется с помощью асимптотических граничных условий
ЧДх, ?)-"-ехр(- ikx) + R(k)exp(ikx), х-^+оо, (9,2а)
W (х, 6)-> Г (6) ехр (- ikx), х > оо, (9.2Ь)
где Д' является N X М-матрицей, столбцы которой являются решениями (9.1)
и k вещественное (согласно договоренности, положительное). Ясно, что если
Q (и, следовательно, Ч') зависит параметрически от дополнительных
переменных, то зависеть от этих переменных будут и "коэффициент
отражения" R, и "коэффициент прохождения" Т. Дискретный спектр задачи
(9.1) состоит из конечного числа собственных значений kU) = ip{>\ которым
отвечают собственные функции уравнения Шрёдингера
^11 = [Q + Р(,)!] ^(/)> (9.3)
удовлетворяющие условию нормировки
^ е?х(ф(/), а|з(/)) = 1. (9.4)
- 00
В дальнейшем индекс, различающий собственные состояния, в тех случаях,
когда это не вызывает недоразумений, будет опускаться.
9.1. Прямая и обратная задачи
325
Если матрица-потенциал Q эрмитова (что, как правило, предполагается), то
р(/> вещественные (и, согласно договоренности, положительные);
асимптотика собственных функций, отвечающих дискретному спектру, такова:
ф(х)-"-сёхр(- рх) при х->+оо, (9.5а)
ф (х) = с_ ехр (рх) при х -> - оо. (9.5Ь)
Матрица
С = сст, (9.6)
играющая важную роль в дальнейшем, связана с вычетом функции R(k) в точке
k = ip соотношением
lim [{k- ip)R (?)] = i'C, (9.7)
fc-Ир
где Q(x) убывает достаточно быстро [9.1] (и дискретные собственные
значения невырожденны; здесь и далее это для простоты будет
предполагаться).
Ясно, что если Q(x) задана, то однозначно определены матрицы R(k), T(k) и
параметры р(п, с(П, характеризующие
дискретную часть спектра (если она есть). Определение этих величин
составляет прямую задачу для одномерного матричного оператора Шрёдингера.
Обратная задача. Данные, достаточные для однозначного восстановления
"потенциала" Q(x), суть: коэффициент отражения, дискретные собственные
значения р(,) (если они есть) и соответствующие матрицы С(/). Потенциал
определяется из уравнений
+ оо
М(х) = ^ С(л ехр(- рЧ)х) ^ dkR{k)exp{ikx), (9.8)
/ ... -°°
оо
к (X, х') + М(х + х') + dx"K (х, х") М (х' + х") = 0, х ^ х',
<9.9)
Q(x) -r-- -2 К {х, х). (9.10)
Значения R(k) для отрицательных k, входящие в определение
(9.8) ядра /VI (х) уравнения, могут быть получены с помощью
аналитического продолжения R{k) с положительной полуоей. Для эрмитовых
матриц Q(x) можно, кроме того, воспользоваться соотношением R(-k) -
RT(k).
326
9. Нелинейные эволюционные уравнения
9.2. Обобщенные соотношения Вронского; основные формулы
Все результаты, которые будут изложены в настоящем разделе, выведены из
следующих основных формул:
2ikf (- 4k2) [Mtf (k) - R' (k) Л4] =
+ oo
= J dxV'{x, k){f{N)[MQ{x)-Q'{x)M]}4{x, k), (9.11)
- oo
(2ikf g (- Ak2) [NR (k) + R' (k) N] =
+ oo
= J dxV'ix, k){g{A)rN}4(x, k). (9.12)
- oo
Здесь f(z) и g(z) произвольные (целые) функции; M и N постоянные (т. е.
не зависящие от х) матрицы; R(k) и R'(k) коэффициенты отражения для
потенциалов Q(x) и Q'(x) соответственно. Операторы Л и Г, действующие на
все, что стоит справа от них в пределах фигурных скобок, определяются в
приведенных ниже формулах своим действием на функцию F(x) (убывающую
быстрее, чем 1/х):
+оо
ЛF (х) = Fхх (х) - 2 [Q' (х) F(x) + F (х) Q (х)] + Г $ dx'F (х'), (9.13)
TF (х) = Q'x(x) F (х) -f F (х) Qx (х) +
+ 00
-f J dx'[Q'(x)Q'(x')F(x')-Q'(x)F(x')Q(x')-
X
- Q' (х') F (х') Q (х) -f F (х') Q (х') Q (х)]. (9.14)
Получение этих формул основано на обобщенных соотношениях Вронского
[9.1]. Они обладают свойством задачи на собственные значения для
уравнения Шрёдингера, описанным в предыдущем разделе. Полезность этих
формул проявляется в том, что они позволяют найти класс нелинейных
соотношений между задачами с двумя различными потенциалами
